एक वाक्य-उत्क्रांतीचा प्रयोग -- रामोन ल्युलचे कविता-यंत्र - भाग ४ - विश्लेषण

हे गणित वाटते तितके सोपे नाही. एका कागदाच्या तुकड्यावर मला तरी जमले नाही.

कागदावर गणित (अनॅलिटिकल सोल्यूशन) शक्य आहे, हे माहीत असूनही मी आळस केला. हे गणित मी माँतेकार्लो सिम्युलेशनांनी केले. दहा खेळाडू असलेले १५ पर्यायांचा कौल (अगदी प्रयोगातल्यासारखे) बनवला. प्रत्येक कौलात रँडम यदृच्छेने मते दिली. मते प्रयोगातल्यासारखी मोजली. असे १०,००० कौल खेळले.

कौलस्थिती १ : जर जुळी नसती तर ६ समसमान पर्याय असते. तर रंगांचे यादृच्छिक डिस्ट्रिब्यूशन असे मिळाले. (लक्षात असू द्या, की पर्यायांच्या अनुसार कमीतकमी दोन वाक्यांना मते मिळणारच होती. त्यामुळे सर्वाधिक मते फक्त ५०% मिळू शकतात.)
जांभळे - १०%
निळे - ४५%
हिरवे - ३६%
पिवळे - ७%
लाल - ०%
(५४ चौकोनांपैकी किती कुठल्या रंगांचे ते गणित ढोबळपणे : जांभळे ६, निळे २४, हिरवे २०, पिवळे ४, लाल ०)

कौलस्थिती २: जर ६ पैकी २ वाक्ये परस्पर-जुळी असतील तर रंगांचे काय डिस्ट्रिब्यूशन येईल? (जुळ्यांच्या मतांची बेरीज होते, त्या वाक्याला ५०% पेक्षा अधिक मते मिळणे शक्य होते.)
जांभळे - २४%
निळे - ५५%
हिरवे - १७%
पिवळे - ३%
लाल - ०%
(येथे जुळ्यांना "एक-चौकोन" म्हणून मोजायचे आहे, मग वरील डिस्ट्रिब्यूशन मिळते. ५०% पेक्षा अधिक मते शक्य असली तरी >५०% स्कोअरचे अपेक्षित डिस्ट्रिब्यूशन ~०.२% आहे!)

कौलस्थिती २अ : चित्रामध्ये मात्र जुळ्यांचे दोन चौकोन काढलेले आहेत, तुटक चौकोनाने जोडले असले तरी दृष्टीस दोन चौकोन म्हणून दिसतात. जुळ्याचे दोन चौकोन मोजल्यास रंगांचे डिस्ट्रिब्यूशन असे :
जांभळे - २०%
निळे - ५०%
हिरवे - २४%
पिवळे - ५%
लाल - ०%

खालच्या ९ पिढ्याच (५४ चौकोन) घेतल्या (पहिल्या पिढीत केवळ चार वाक्ये आहेत, त्याचे सिम्युलेशन मी केलेले नाही) तर :
लाल चौकोन २ (जुळ्यांसह) किंवा ३ दिसतात. अपेक्षित होते ० - वरील कुठल्याही डिस्ट्रिब्यूशनमध्ये.
पिवळे चौकोन ९ (जुळ्यांसह) किंवा ११ दिसतात. अपेक्षित होते ३-७%, म्हणजे २ किंवा ३ - वरील कुठल्याही डिस्ट्रिब्यूशनमध्ये.

लाल, पिवळे, जांभळे चौकोन दिसण्याचे प्रमाण यदृच्छेपेक्षा खूप अधिक आहे. आणि १० ऐवजी २० यादृच्छिक खेळाडू घेतले असते, तर रंग मध्यवर्ती अपेक्षेच्या आणखी जवळ गेले असते - म्हणजे निळे-हिरवेच अधिक दिसले असते. २० यादृच्छिक खेळाडूंमध्ये लाल-पिवळे नास्तिप्राय झाले असते. वास्तविक प्रयोगात १०-२० खेळाडूंनी भाग घेतला.

(सहज [बॅक-ऑफ-द-एन्व्हलप] केलेल्या अ‍ॅनॅलिटिकल गणितातून वेगळे डिस्ट्रिब्यूशन येत असल्यास त्या गणिताची गृहीतक चौकट काळजीपूर्वक जोखावी. सिम्युलेशनची चौकट साक्षात कौलच आहे.)

स्पर्धेतील बहुमताबद्दलचे निरीक्षण "क्रॉस-सेक्शनल" आहे. एक वाक्य नऊ पिढ्या टिकले, हे निरीक्षण "लाँजिट्यूडिनल" आहे. दोन्ही निरीक्षणे बरोबर असली तरी तर्कदृष्टीने समसमान नव्हेत.