३१ ते १३० पैकी कोणत्याही संख्येचा वर्ग तोंडी काढा!!

यासाठी गरज आहे १ ते ३० या संख्यांचे वर्ग आणि काही पाढे तोंडपाठ असायची गरज आहे

बोंबला या दुसर्‍या वाक्यानेच दांडी काढली.
१३ १७ २३ २७ या पाढ्यांवर काही तोडगा आहे का हो क्लिंटन ?

बादवे तुझा हा धागा लेकीला दाखवेन म्हणतो. :)

काही जन गणिताचा बाउ का करतात कळत नाही.

छान माहिती! पण पाढे पाठ असण्याचीही फारशी गरज नाही. वर्ग माहीत असले आणि बेरीज वजाबाकी येत असली की झाले. :)
तुमच्या पोतडीतून आणखीही गोष्टी बाहेर येऊ देत!

इंट्रेस्टिग

गणिताची आणि समजावून सांगण्याची, दोन्ही पद्धती आवडल्या, धन्यवाद!

(आता फक्त ते १८-२९ या संख्यांचे वर्ग पाठ करणं जमलं पाहिजे!)

एकदम आवडले. कधीच्या काळी शिकलो होतो. परत आठवण करून दिल्याबद्दल धन्यवाद!

ही गंमत खूप वर्षापुर्वी एका पुस्तकात वाचली होती.
मला गणितातल्या गमतीजमती आणि कोडी आवडतात पण आकडेमोड असेल तर झेपत नाहीत पण त्यातला लोजिकल भाग आवडतो.

मला वाटतं अतिशिघ्र आकडेमोड्यांना अश्याच खूप ट्रीक्स माहित असतील म्हणून ते पटकन उत्तरं देउ शकतात.

आणखीही धागे येउद्या.

खूप छान समजावून सांगितले आहे.
Many things difficult in design prove easy in performance.

पद्धत आवडली. आतापर्यंत Trachtenberg system ( http://en.wikipedia.org/wiki/Trachtenberg_system) सोपी वाटली होती पण ही पद्धत त्याहूनही सोपी दिसतेय.

पूर्वी शिकलेलं आठवतंय, पण आता खरं समजलं.

वर दिलेल्या पद्धती तसेच काही दिवसांपुर्वी आलेली गणेश पद्धती या सगळ्या वेदिक गणिती पद्धती आहेत. हे पुस्तक पुरी ज्योतिर्मठाचे शंकराचार्य यांनी वेदांतील निरनिराळी विखरलेली सुत्रे एकत्रित करून लिहिले आहे. १९६० साली त्यांचे निधन झाले. वेदिक गणित हे जगांतील १२५ हून अधिक देशांत ई ४ थी पासून शालेय अभ्यासक्रमात शिकवले जाते. आपल्या देशात मात्र अल्पसंख्याकांच्या विरोधामुळे हा विषय शाळांतून शिकवण्यास बंदी आहे.
मी सुमारे ४२ वर्षां पुर्वी याचा अभ्यास केला आहे. स्पर्धात्मक परीक्षांसाठी हा अत्यंत उपयुक्त असल्याने मी गेली अनेक वर्षे ह्या विषयाच्या शिकवण्या घेत आहे. २ वर्षां पुर्वी या विषयावर भाषणे देण्यासाठी तसेच डेमो दाखवण्यासाठी मला सिंगापूर येथे १५ दिवसांकरता बोलावण्यात आले होते.
आपल्या शालेय पाल्यांकरता हा विषय नक्कीच उपयुक्त ठरेल.

वाखुसाआ अजुन अश्या काही युक्त्या असतील तर जरूर सांगा.

अमृत

छान. यातील काही पद्धती पुरीचे भूतपूर्व शंकराचार्य भारती कृष्णतीर्थांच्या "वेदिक मॅथेमॅटिक्स" पुस्तकात दिले होते.

(अर्थात या पैकी कुठलेही सूत्र वेदांच्या मूलपाठ्यात सापडत नाहीत, वगैरे, वगैरे. ही चर्चा झालीच आहे. ती पुन्हा नको. पण भारती कृष्णतीर्थांना श्रेय देण्यात काहीच हरकत नाही. श्रेय द्यावेच. क्लिंटन यांनी "जांभळ्या रंगाच्या कव्हरचे पुस्तक म्हणून हासरे श्रेय दिलेच आहे.)

प्रकार २ व ३ (३०-७० मधील वर्ग) वगैरे हळूहळू क्लिष्ट होत जातात. १०^न संख्यांच्या आसपास असलेल्या संख्यांकरिताच या पद्धती मला सोयीस्कर वाटतात.

एका ओळीत "क्रॉस-गुणाकार" करण्याची भारतीकृष्णांची पद्धत मी फारतर ३-आकडी गुणाकारांकरिता वापरतो. त्यानंतर हातचे आकडे इतके मोठे होत जातात, की ते मला मांडून ठेवावे लागतात. अशा परिस्थितीत नेहमीची शालेय पद्धत सोपी जाते. (२-आकडी गुणाकारांकरिता क्रॉस-गुणाकाराची पद्धत अधिक झटपट आहे.)

"वैदिक" शब्द वापरला किंवा नाही तर काय फरक पडतो, याबाबत क्लिंटन प्रयोग करत आहेत काय? पण तो नि:संदर्भ शब्द न-वापरताही भारती कृष्णतीर्थांना श्रेय देता येतेच. त्यामुळे प्रयोगाचे प्रयोजन नीटसे कळले नाही.

वैदिक गणित नावाच्या पुस्तकात अशा पद्धती वाचल्याचे स्मरते.
परंतु १३० ची मर्यादा असण्याची गरज नाही. ३० पर्यंतच संख्यांचे वर्ग तोंडपाठ आहेत असे धरले तरी,
क्रॉस-गुणाकार पद्धतीने किमान १७० ते २३०, २७० ते ३३०, ३७० ते ४३०, ... , ९७० ते १०३०, इ. इ. सर्व संख्यांचे तोंडी वर्ग काढण्यास अडचण नसावी.

उदा. २१२ चा वर्गः (क्ष=१२, २१२+१२=२२४ आणि १२ चा वर्ग: १४४) २*२२४।१४४ किंवा (४४८+१)।४४= ४४९४४.
९१५ चा वर्गः(क्ष=१५, ९१५+१५=९३० आणि १५ चा वर्ग:२२५) ९*९३०।२२५ किंवा (८३७०+२)।२५= ८३७२२५

फिगर्स फॅसिनेट मी !
;-)

मला हे गणिताचे खेळ खूप आवडतात.
कुणाला अजुन गमती बघायच्या असतील तर आर्थर बेंजामिन चा व्हिडिओ बघा. तो सरळ सरळ मॅथेमॅटिक्स आणि मॅजिक एकत्र करुन "मॅथेमॅजिक" नावाची एक नविन संकल्पना मांडतो.
मुलाला हा व्हिडिओ दाखवल्यावर तर मागेच लागला मलाही शिकवा....
Arthur Benjamin does "MatheMagic"

TED (Technology, Entertainment & Design), या वेबसाईट वर लाखो व्हिडिओ आहेत. आठवड्याला एक Office मध्ये सगळ्यांना दाखवला जातो.

एक ऑर्गॅझम वरही आहे. आग्रह करत नाही. सगळे शोधुन बघतीलच.....:-)

काय चर्चा आहे राव घाम फुटला वाचुन .......!

गणिताच पेपर झाला की मी सरळ घर गाठायचो......कारण काही लोक बाहेर आल्यावर उत्तरं वगैरे तपासायचे,
कपाळ करंट्याना सुटल्याच आनंद का होत नसत कोणास ठऊक. बर निकाल लागे पर्यंत खाजवून खरुज काढायचे साले...

आजही ते ११ / १२वी च डेरीव्हेशन, इंटिग्रेशन वगैरे स्वपनात आल्यावर दचकुन जाग येते.
माझे भयावह स्वप्न - १२ बोर्डाचा पेपर देतोय बरं त्या प्रश्न पत्रिकेतली ४ गणित चूकली म्हणून पास झालो होतो,
या गो ष्टीला १५ वर्ष लोटली तरी भय कायम आहे.........................................

उत्तम माहिती...गणिताच्या याच गमती मला आवडतात..

अजून एक..
दोन लगतच्या संख्यांच्या वर्गांमधले अंतर हे त्या संख्यांच्या बेरजेइतके असते..

म्हणजे ३ वर्ग = ९ आणि ४ वर्ग = १६...यांच्यातले अंतर म्हणजे ७ हे ३ आणि ४ यांच्या बेरजेइतके येते.

हाच सिद्धांत आपण आणखी वाढवला तर..

४ वर्ग = १६
८ वर्ग = ६४

६४ - १६ = ४८

४८ = (४+८) x (८-४)

म्हणजे फोर्मुला असा होईल

sq(a) - sq(b) = (a+b) x (a-b) Assume that 'a' is bigger than 'b'

या पद्धतीने ही वर्ग काढता येईल..

दिलेल्या पद्धती पाहिल्या. उत्तम आहेत. स्कॉलरशिपच्या क्लासमध्ये शिकवलेली वर्ग करण्याची पद्धत खाली देत आहे. तिच्यामध्ये वर दिलेल्या पद्धतींप्रमाणेच गुणाकार / भागाकार जरा भरभर करता येणे अपेक्षित आहे, पण महत्वाचे म्हणजे ही पद्धत एकदम जनरल आहे-कुठल्याही आकड्यासाठी तितकीच अ‍ॅप्लिकेबल. स्पीडमध्ये कदाचित काही ठिकाणी मार खाऊ शकेल, पण सर्वच आकड्यांसाठी सारखीच लागू पडते.

उदा. १२^२=१४४.

प्रथम एककस्थानच्या आकड्याचा वर्ग करा. २^२=४. तो एककस्थानी मांडा.

एकक सोडून उरलेला आकडा, म्हणजे या उदा.मध्ये १, एककस्थानचा आकडा(म्ह. २) आणि घातांक म्ह. २ यांचा गुणाकार करा. १*२*२=४. तो दशकस्थानी मांडा.

एकक सोडून उरलेला आकडा=१. त्याचा वर्ग करा: १^२=१. तो शतकस्थानी (म्ह. सर्वांत डावीकडे) मांडा.

त्यामुळे उत्तर आहे १४४.

इथे हातचे कुठे आले नव्हते. आता ४८ चा वर्ग करू.

एककस्थानचा आकडा आहे ८ व ८^२=६४. ४ लिहा, हातचे आले ६.

४*८*२=६४, त्यात हातचे ६ मिसळा: ६४+६=७०. दशकस्थानी ० लिहा, हातचे आले ७.

एककस्थान सोडून उरलेला आकडा=४. त्याचा वर्गः ४^=१६, त्यात हातचे मिसळा ७. २६+७=२३. सर्वांत डावीकडे ते लिहा.

सो आपल्याला उत्तर मिळते: ४८^२=२३०४.

एखाद्या ३ अंकी संख्येचा वर्ग पण करून पाहू, उदा. १२१.

एककस्थानचा आकडा, त्याचा वर्ग=१.

(एककस्थानचा आकडा सोडून उरलेली संख्या)*(एककस्थानचा आकडा)*(घातांक)=१२*१*२=२४.
४ लिहिले, हातचे आले २.

(एककस्थानचा आकडा सोडून उरलेली संख्या)=१२, तिचा वर्ग=१४४. त्यात २ मिसळा, आले १४६.

सो उत्तर आहे १४६४१. म्हणून १२१^२=१४६४१.

आता हे बरोबर का आहे? आपली पद्धत बघू.

समजा अब=१०*अ+ब ही संख्या आहे. ती २ किंवा कितीही आकडी असो, सिद्धतेत बदल नाही होणार. तूर्तास सिद्धता २ आकडी संख्यांसाठी देतोय.

आता, (अब)^२=(१०*अ+ब)^२=१००* अ ^२+२०*अ*ब+ब^२.

आपल्या पद्धतीनुसार, सर्वांत आधी लिहितो ब^२.

नंतर लिहितो अ*ब*२ म्हणजेच (२*अ*ब) पण दशकस्थानी. म्हणून स्थानिक किंमतीनुसार बेरीज करायची झाली तर ती टर्म होते १०*(२*अ*ब) म्हणजेच २०*अ*ब.

त्यानंतर लिहितो ते अ ^२ पण शतकस्थानी, म्हणून स्थानिक किंमतीनुसार बेरीज करायची झाली तर ती टर्म होते १००*अ ^२.

म्हणजेच आपल्या पद्धतीनुसार वर्ग होतो तो १००* अ ^२+२०*अ*ब+ब^२=(अब)^२=(१०*अ+ब)^२.

त्यामुळे ही पद्धत बरोबर आहे.

आता वर्गासाठीची ही पद्धत ज्या तत्वावर आधारलेली आहे त्याच तत्वावर म्हणजे बायनॉमियल थिओरमवरती आधारलेली घनासाठीची किंबहुना कुठल्याही घातासाठीची पद्धत तयार करता येते.

घनासाठीचे बायनॉमियल एक्स्पान्शन असे:

(अब)^३=(१०*अ+ब)^३= १०००*अ ^३+३००*अ ^२*ब+३०*अ*ब^२+ब^३.
=१०००(अ ^३)+१००(३*अ ^२*ब)+१०(३*अ*ब^२)+ब^३.

आता याचा उपयोग करून १२ चा घन काढू.

१२=१०*१+२ म्हणून इथे अ=१ आणि ब=२.

ब^३=२^३=८.

३*अ*ब^२=३*१*२^२=१२. लिहिले २(दशकस्थानी), हातचा आला १.

३*अ ^२*ब=३*१^२*२=६, त्यात हातचा १ मिळवला, उत्तर ७ आले ते लिहिले(शतकस्थानी).

अ ^३=१६३=१, लिहिले सहस्रस्थानी.

म्हणून, १२^३=१७२८.

हीच पद्धत ४थ्या, ५व्या किंवा कितव्याही घातासाठी बिनधास्तपणे वापरता येईल. याला कारण ऐझॅक न्यूटनसाहेबांचे बायनॉमियल थिओरमच आहे :)