काही विभाज्यतेच्या कसोट्या

नमस्कार मंडळी,

या लेखाचा विषय आहे विभाज्यतेच्या कसोट्या. २/३/५/९/१० या संख्यांनी एखाद्या संख्येला पूर्ण भाग जातो का याविषयीच्या विभाज्यतेच्या कसोट्या सगळ्यांनाच माहित असतात.पण त्यापुढे जाऊन ७/११/१३/१७ यासारख्या संख्यांच्या विभाज्यतेच्या कसोट्या हा या लेखाचा विषय आहे. या कसोट्या वापरता येण्यासाठी पाढे पाठ असणे गरजेचे आहे.या कसोट्या अत्यंत प्रभावी असून मोठ्या मोठ्या संख्यांना दाती तृण धरून शरणागती पत्करायला लावायली क्षमता या कसोट्यांमध्ये आहे.

या सगळ्या विभाज्यता कसोट्यांचे स्वरूप सारखेच आहे.या कसोट्यांमध्ये प्रथम दिलेल्या संख्येचे दोन भाग करावेत.पहिल्या भागात दिलेल्या संख्येच्या एकम स्थानची संख्या आणि दुसऱ्या भागात उरलेले सगळे आकडे.उदाहरणार्थ दिलेली संख्या ४२८ असेल तर पहिल्या भागात एकम स्थानची संख्या (म्हणजे ८) आणि दुसऱ्या भागात उरलेले सगळे आकडे (म्हणजे ४२) अशी विभागणी होईल.

७ ची विभाज्यता कसोटी: दिलेल्या संख्येतील एकम स्थानच्या संख्येला (म्हणजे पहिल्या भागाला) पाचने गुणावे आणि आलेला गुणाकार दुसऱ्या भागात (म्हणजे एकम स्थान सोडून इतर सगळे आकडे) मिळवावा. मिळालेल्या बेरजेला जर ७ ने भाग जात असेल तर दिलेल्या संख्येलाही ७ ने भाग जातो. उदाहरणार्थ २३८ या संख्येला ७ ने भाग जातो. तेव्हा एकम स्थानच्या संख्येला (८) ला पाचने गुणावे (८ गुणिले ५=४०) आणि दुसऱ्या भागात हा गुणाकार मिळवावा. (२३+४०=६३). या बेरजेला (६३ ला) ७ ने पूर्ण भाग जातो. म्हणजेच दिलेल्या संख्येला (२३८) ला पण ७ ने पूर्ण भाग जातो.जर बेरीज ३/४/५ आकडी किंवा अजूनही मोठी असेल तर ती दोन आकडी स्वरूपात येईपर्यंत हीच प्रक्रिया चालू ठेवावी.

उदाहरणार्थ: १९६७७ या संख्येला ७ ने भाग जातो याचा पडताळा करू--

पहिली पायरी: १९६७+ (७ गुणिले ५)= २००२. म्हणजेच २००२ ला जर ७ ने भाग जात असेल तर १९६७७ ला पण जाईल.
दुसरी पायरी: २०० + (२ गुणिले ५) = २१०.
तिसरी पायरी: २१ + (० गुणिले ५) = २१.

२१ ला ७ ने भाग जातो म्हणून २१०,२००२ आणि १९६७७ या संख्यांनाही ७ ने पूर्ण भाग जातो.

सातची विभाज्यता कसोटी दुसऱ्या मार्गानेही लिहिता येईल.दिलेल्या संख्येतील एकम स्थानच्या संख्येला (म्हणजे पहिल्या भागाला) दोनने गुणावे आणि दुसऱ्या भागातून आलेला गुणाकार वजा करावा. मिळालेल्या संख्येला जर ७ ने भाग जात असेल (किंवा ती शून्य असेल) तर दिलेल्या संख्येलाही ७ ने भाग जातो. परत एकदा---

दिलेली संख्या: १९६७७

पहिली पायरी: १९६७ - (७ गुणिले २) = १९५३
दुसरी पायरी: १९५ - (३ गुणिले २) = १८९
तिसरी पायरी: १८ - (९ गुणिले २) = ०

म्हणूनच १८९, १९५३ आणि १९६७७ या संख्यांना ७ ने पूर्ण भाग जातो.

तेव्हा सातच्या विभाज्यता कसोटीसाठी पाच आणि दोन या संख्या महत्वाच्या झाल्या. यातील ५ ला आपण Positive seed number म्हणू (कारण एकम स्थानला आपण +५ ने गुणून तो गुणाकार उरलेल्या भागात मिळवतो) आणि २ ला आपण Negative seed number म्हणू (कारण एकम स्थानला आपण -२ ने गुणून तो गुणाकार उरलेल्या भागात मिळवतो).

आता इतर विभाज्यतेच्या कसोट्यांसाठीचे Positive seed number आणि Negative seed number लिहितो. या सीड नंबरचा वापर करून विभाज्यतेच्या कसोट्या पडताळून बघता येतील.

३ ची विभाज्यता कसोटी: Positive seed number: १, Negative seed number: २
९ ची विभाज्यता कसोटी: Positive seed number: १, Negative seed number: ८
११ ची विभाज्यता कसोटी: Positive seed number: १०, Negative seed number: १
१३ ची विभाज्यता कसोटी: Positive seed number: ४, Negative seed number: ९
१७ ची विभाज्यता कसोटी: Positive seed number: १२, Negative seed number: ५

आता हे वाचून वाचकांना नक्कीच प्रश्न पडेल की हे सीड नंबर्स लक्षात ठेवण्यापेक्षा सरळ भागाकार करणेच सोपे.तेव्हा हे सीड नंबर generate करायची काही पध्दत आहे का? नक्कीच आहे.ती पुढीलप्रमाणे:

ज्या संख्येची विभाज्यता कसोटी आपल्याला हवी आहे ती घ्या (उदाहरणार्थ १३). त्या संख्येला अशा संख्येने गुणा की ज्यामुळे गुणाकाराच्या एकमस्थानी ९ येईल. आपण १३ ला तीनने गुणले तर गुणाकार ३९ येईल आणि त्या गुणाकाराच्या एकमस्थानी ९ आहे. या गुणाकाराच्या दशकस्थानची संख्या अधिक १ म्हणजे Positive seed number.म्हणजेच १३ साठीचा Positive seed number झाला ३+१=४. समजा आपल्याला २३ या संख्येचा Positive seed number हवा आहे. २३ ला तीनने गुणल्यास गुणाकार येतो ६९, म्हणजे २३ साठीचा Positive seed number झाला ६+१=७.

तसेच दिलेल्या संख्येचा Negative seed number हवा असेल तर त्या संख्येला अशा संख्येने गुणा की ज्यामुळे गुणाकाराच्या एकमस्थानी १ येईल. समजा १३ चा Negative seed number आपल्याला हवा आहे. १३ ला ७ ने गुणले तर गुणाकार येईल ९१ आणि त्या गुणाकाराच्या एकमस्थानी १ आहे. या गुणाकाराच्या दशकस्थानची संख्या म्हणजे झाला Negative seed number. म्हणजे १३ चा negative seed number झाला ९. तसेच २३ ला ७ ने गुणले तर गुणाकार येईल १६१. म्हणजे २३ चा Negative seed number झाला १६.

वर दिलेल्या सीड नंबर्सच्या यादीवरून एक गोष्ट वाचकांच्या लक्षात आलीच असेल. आणि ती म्हणजे:

दिलेली संख्या= त्या संख्येचा Positive seed number+ त्या संख्येचा Negative seed number.

तेव्हा दोन सीड नंबर्सपैकी आकडेमोडीसाठी सोयीचा सीड नंबर शोधावा आणि त्यावरून दुसरा सीड नंबर आपोआप येईलच.

या विभाज्यतेच्या कसोट्यांची मर्यादा म्हणजे केवळ ५ ने शेवट न होणाऱ्या विषम संख्यांसाठीच ही पध्दत वापरता येईल.आणि अर्थातच थोडे तरी पाढे पाठ हवेत.

वेळ मिळेल त्याप्रमाणे मोठ्या संख्यांचे गुणाकार चुटकीसरशी करता येणारी (किंवा वर्ग करता येणारी) पध्दत पुढील भागात. या पध्दतींचा उपयोग CAT सारख्या परीक्षांमध्ये (ज्यात calculator वापरता येत नाही) नक्कीच होईल.