ज्या (sine - sin) आणि कोज्या (cosine - cos)

आपल्यापैकी बहुतेकांना त्रिकोणमितीमधील - Trigonometry - ज्या (sine - sin) आणि कोज्या (cosine - cos) ह्या दोन मूलभूत गुणोत्तरांची तोंडओळख तरी असतेच. ह्या गुणोत्तरांचा जगातील पहिलावहिला अभ्यास भारतीय गणिती आर्यभट (जन्म इ.स. ४७६) केला होता अणि इतकेच नाही तर त्यांसाठी त्याने योजिलेल्या ’ज्या’ आणि ’कोटिज्या’ ह्या संज्ञाहि sin आणि cos ह्या रूपाने जागतिक गणितशास्त्रामध्ये चिरस्थायी झाल्या आहेत. ह्याच्या मागचे आर्यभटाचे गणित आणि ह्या संज्ञांचा इतिहास ह्यापुढे दाखवीत आहे.

ज्या (sin) आणि कोज्या (cos)

 
वरील चित्रात बम/बक ह्या गुणोत्तरास बकम ह्या कोनाची 'ज्या' म्हणतात आणि कम/बक ह्यास 'कोज्या'. ज्या म्हणजे धनुष्याची दोरी ह्यावरून त्या संज्ञा निर्माण झाल्या आहेत. बम ही रेषा लांबीने बअ ह्या परिघाच्या भागाहून - चापाहून - लहान आहे पण हेहि दिसेल की बकम हा कोन जितका लहान केला जाईल तितक्या प्रमाणात हा फरक कमी होत जाईल. ३.७५ अंश, ७.५० अंश, ११.२५ अंश अशा रीतीने ३.७५ अंशांच्या फरकाने ९० अंशांपर्यंत जे २४ कोन होतात त्यांच्या sine values काढण्याचे एक सूत्र आर्यभटाने सांकेतिक शब्दात आर्यभटीयाचा पहिला भाग दशगीतिका येथे दिले आहे ते असे:

१.१२,१ मखि भकि फखि धखि णखि ञखि ङखि हस्झ स्ककि किष्ग श्घकि किघ्व।
१.१२.२ घ्लकि किग्र हक्य धकि किच स्ग झश ङ्व क्ल प्त फ छ कलार्धज्या:॥

अधिक खोलात न जाता हे काय आहे ह्याची कल्पना देतो. म्, ख्,...अशी अक्षरे म्हणजे संख्यांना चिकटवलेले संकेत आहेत. त्या अनुसारे मखि म्हणजे म् ख् इ किंवा २५, २, १००. ’अङ्कानां वामतो गति:’ ह्यानुसार मखि म्हणजे २२५. भखि म्हणजे भ् ख् इ किंवा २४, २, १००, अर्थात् २२४. फखि म्हणजे फ् ख् इ किंवा २२, २, १०० अर्थात् २२२. पुढे जाऊन घ्लकि म्हणजे घ् ल् क् इ, किंवा ४, ५०, १, १०० अर्थात् १५४. वरील गीतिकेतील प्रत्येक सांकेतिक शब्दाचा असा अर्थ लावून हे आकडे एकाखाली एक असे लिहावेत. त्यामधून पहिला, पहिला + दुसरा, पहिला + दुसरा + तिसरा अशी शेवटापर्यंत माळ करावी. तशा मार्गाने मिळणार्‍या संख्या २२५, ४४९, ६७१ इत्यादि परिघावरील चापांच्या ३.७५ अंश, ७.५० अंश, ११.२५ अंश अशा अर्धज्यांच्या कोनांच्या sine ratios चे दर्शक आहेत. आधुनिक गणितानुसार ह्या संख्या अनुक्रमे २२४.८५६०, ४४८.७४९०, ६७०.७२०५ इत्यादि आहेत. आधुनिक मान आणि आर्यभटाने दिलेले मान ह्यांमध्ये अगदीच थोडा फरक आहे हे दिसते. २२५, ४४९, ६७१ अशा संख्यांना मी दर्शक म्हटले आहे ते अशासाठी की त्यांना ३४३८ ने भागले की आजच्या पद्धतीचा sine ratio मिळतो, जसे की २२५/३४३८ = ०.०६५४५ आणि आजच्या कोष्टकानुसार ज्या ३.७५ अंश = ०.०६५४०.

आर्यभटीयातच पुढील श्लोकामध्ये आर्यभटाने वर्तुळाचा व्यास आणि वर्तुळाचा परिघ ह्यांचे गुणोत्तर, ज्याला π ह्या ग्रीक अक्षराने आपण ओळखतो, ते पुढीलप्रमाणे दाखविले आहे:

२.१०.१ चतुरधिकं शतमष्टगुणं द्वाषष्टिस्तथा सहस्राणाम्।
२.१०.२ अयुतद्वयविष्कम्भस्यासन्नो वृत्तपरिणाह:॥

शंभराबरोबर चार मिळवून (१०४) आणि त्याला आठाने गुणून (८३२) त्याबरोबर बासष्ट हजार (६२८३२) (घ्या). दोन दशसहस्र (२००००) व्यासाचा हा परिघ जवळपास शुद्ध आहे. (म्हणजेच π = ६२८३२/२०००० = ३.१४०६. आधुनिक आकडेमोडीनुसार π = ३.१४१५९...).

शब्दांचे अर्थ - अयुत = १००००, विष्कम्भ = व्यास, आसन्न = निकटचा, वृत्त = वर्तुळ, परिणाह = परिघ.

वरील आकृतीमध्ये 'क' केन्द्राभोवती ३४३८ एकक (unit) त्रिज्या असलेले वर्तुळ काढले तर त्याचा परीघ (जवळ जवळ) २१६०० एकक इतका असेल. वर्तुळाच्या परिघावर ९६ समान बाजू असलेला एक बहुकोन काढला तर त्या प्रत्येक बाजूपासून केन्द्राशी झालेला कोन ३.७५ अंश इतका असेल (३६० अंश/९६) आणि त्या प्रत्येक कोनाने कापलेला चाप २२५ इतका असेल (२१६००/९६). वरील आकृतीतील बम ही रेषा त्या चापाइतकीच म्हणजे २२५ एकक इतकी (जवळ जवळ) असेल. ज्या बकअ = ज्या ३.७५ = बम/बक = २२५/३४३८ = ०.०६५४५ हे आर्यभटाप्रमाणे उत्तर झाले. आधुनिक गणितानुसार ज्या ३.७५ = ०.०६५४०.

भारतीय गणितात काटकोनी त्रिकोणाच्या तीन बाजूंना भुज, कोटि आणि कर्ण असे म्हणतात. आर्यभटाची ’ज्या’ (अथवा जीवा, संस्कृतमध्ये हा ’ज्या’चा पर्यायी शब्द आहे) ही संज्ञा आर्यभटीयाचे अरबी भाषेत भाषान्तर करतांना अरबांनी jiba आणि स्वर वगळून jb अशा अक्षरांत दर्शविली. (अरेबिकमध्ये व आणि ब मध्ये अगदी निसटता फरक आहे. तसेच स्वर न दाखविता केवळ व्यंजनेच दाखवायची ही रीत हिब्रू ह्या दुसर्‍या सेमेटिक भाषेतहि आहे.) १२व्या शतकात इटलीतील क्रेमोना गावच्या घेरार्दोने अरेबिक पुस्तकाचे लॅटिन भाषान्तर करतांना jb वरून अरेबिक jaib - कपडयातील घडी - असा तर्क केला आणि त्याजागी त्याच अर्थाचा sinus हा लॅटिनमधील शब्द वापरला, ज्याची संक्षिप्त आवृत्ति म्हणजे आपला त्रिकोणमितीतील सर्वपरिचित sin हा पारिभाषिक शब्द. तसेच ’कोज्या’ (कोटिज्या) वरून cosine अर्थात् cos.

गणिताला आणि पर्यायाने जागतिक विज्ञानाला आर्यभटाची ही अजून एक देणगी!

अधिक माहितीसाठी येथे पहा.
"sinus. Used mid-12c. by Gherardo of Cremona in Medieval Latin translation of Arabic geometrical text to render Arabic jiba "chord of an arc".

तसेच येथेहि पहा.