विमानकोडं..

लँडिंग / टेक-ऑफ वेळ शून्य पकडून - ११ विमाने दिसतील.

सकाळी ६ आधी दोन्ही ठिकाणाहून विमाने निघाली नाहीत, असे गृहीत धरले तर ४.
२४ तास, दर तासानी दोन्हीकडून विमाने सुरुच आहेत असे धरले तर ८.

११ विमाने दिसतील (यात टेक ऑफ करताना आणि लॅण्डिंग करताना दिसणारे अशी २ विमाने पण समाविष्ट केली आहेत.

'फ्लाईंग च्या काळात ( ६ तासात) , आकाशातली सगळीच मागची/पुढची विमाने 'दिसतात' असे गृहीत धरायचे आहे का?
तसे असेल तर 'बी' ला पोचेपर्यंत मागून निघालेली ५ पण धरावी लगतील.
आधीच्या उत्तरात 'फक्त नाक कुणाचे दिसेल' हेच पाहिले आहे.

६

पहिले ३ तास कोनतेच विमान दिसनार नाय
पन पुढच्या ३ तासात सगळि ६ विमाने दिसतिल

'दिसतील' चा अर्थ तुम्ही 'भेटतील' म्हणजे एकमेकांना 'क्रॉस' होतील असा सांगितला आहे. त्यामुळे कोड्याचं उत्तर : चार.

७ विमाने दिसतील ........

६ विमान्स :)

१३!
समजा सकाळी ६ वाजता 'अ' येथून विमान सुटले, तर टेक-ऑफ च्या वेळी दिसणारे विमान 'ब' येथून मध्यरात्री १२ वाजता सुटले असणार. तसेच 'ब' येथे लॅन्ड करताना तेथून सुटणारे (दुपारी १२ वाजता सुटणारे) विमान दिसेल.
म्हणजेच 'ब' येथून रात्री १२ ते दिवसा १२ दरम्यान टेक-ऑफ करणारी अशी १३ विमाने दिसतील.

समजा सकाळी ६ वाजता 'अ' ठिकाणावरून 'ब'कडे जायला उड्डाण केले. उड्डाणाचा वेळ ६ तास. 'ब'ला पोहोचण्याची वेळ मध्यान्ही.

१. उड्डाणाच्या नेमक्या क्षणी 'ब'हून आदल्या मध्यरात्री निघालेले विमान उतरत असेल. (#१)
२. त्यानंतर कधीतरी 'ब'हून पहाटे एक वाजता निघालेले विमान ओलांडले जाईल. नेमके कधी ते गणित करण्याचा तूर्तास कंटाळा करतो. (#२)
३. त्यानंतर कधीतरी 'ब'हून पहाटे दोन वाजता निघालेले विमान ओलांडले जाईल. नेमके कधी ते गणित करण्याचा तूर्तास कंटाळा करतो. (#३)
४. त्यानंतर कधीतरी 'ब'हून पहाटे तीन वाजता निघालेले विमान ओलांडले जाईल. पुन्हा, नेमके कधी ते गणित करण्याचा तूर्तास कंटाळा करतो. (#४)
५. त्यानंतर कधीतरी 'ब'हून पहाटे चार वाजता निघालेले विमान ओलांडले जाईल. (#५)
६. त्यानंतर कधीतरी 'ब'हून पहाटे पाच वाजता निघालेले विमान ओलांडले जाईल. (#६)
७. त्यानंतर कधीतरी 'ब'हून पहाटे सहा वाजता निघालेले विमान ओलांडले जाईल. (#७)
८. त्यानंतर कधीतरी 'ब'हून पहाटे सात वाजता निघालेले विमान ओलांडले जाईल. (#८)
९. त्यानंतर कधीतरी 'ब'हून पहाटे आठ वाजता निघालेले विमान ओलांडले जाईल. (#९)
१०. त्यानंतर कधीतरी 'ब'हून पहाटे नऊ वाजता निघालेले विमान ओलांडले जाईल. (#१०)
११. त्यानंतर कधीतरी 'ब'हून पहाटे दहा वाजता निघालेले विमान ओलांडले जाईल. (#११)
१२. त्यानंतर कधीतरी 'ब'हून पहाटे अकरा वाजता निघालेले विमान ओलांडले जाईल. (#१२)
१३. त्यानंतर, मध्यान्ही 'ब'ला उतरत असताना, 'ब'हून 'अ'कडे उड्डाणाच्या तयारीत असलेले विमान दिसेल. (#१३)

अशा रीतीने, 'अ'हून 'ब'ला जाणार्‍या विमानास आपल्या सहा तासाच्या प्रवासात 'ब'हून 'अ'ला जाणारी १३ विमाने दिसतील. (पहिले आणि शेवटचे धरले नाही तर ११.) म्हणजे साधारणतः तासाला २ विमाने. पण प्रत्यक्षात तर 'ब'हून 'अ'कडे दर तासाला एकच विमान जात आहे!

आता, समजा 'अ' ते 'ब' विमानमार्गावरून त्याच वेगाने तसेच पुढे जात राहिल्यास आणखी सहा तासांनी 'क' हे ठिकाण लागते, आणि आपले मूळ विमान 'ब'ला न उतरता तसेच पुढे 'ब'वरून 'क'कडे चालले आहे. शिवाय 'ब'वरून 'क'कडे तितक्याच वेगाने जाणारी, तसेच निघण्याचे वेळापत्रक पाळणारी आणि दर तासाला एक याप्रमाणे विमानसेवा आहे. यावेळी मात्र आपल्या 'अ'वरून निघून 'ब'च्या डोक्यावरून 'ब'ला ओलांडून 'क'कडे जाणार्‍या विमानाला पुढच्या सहा तासांच्या प्रवासात 'ब'वरून निघून 'क'कडे जाणारे फक्त एकच विमान ('ब'हून मध्यान्ही निघालेले) दिसेल. प्रत्यक्षात मात्र या मध्यान्हीपासून ते संध्याकाळी सहापर्यंतच्या सहा तासांत 'ब'हून 'क'कडे जायला सात विमाने निघाली!

आता आणखी पुढे समजा, आणखी एक माणूस मोटारीने 'अ'हून 'ब'मार्गे 'क'ला जायला निघाला आहे. मोटारीचा वेग अर्थातच या सर्व विमानांच्या वेगाच्या मानाने खूपच कमी आहे. म्हणजे त्याला 'अ' ते 'ब' आणि पुढे 'ब' ते 'क' अशा प्रवासाला सहा अधिक सहा म्हणजे बारा तासांपेक्षा अर्थातच खूप अधिक वेळ लागणार आहे. तेव्हा त्याला 'अ'हून 'ब'कडे जाताना १३पेक्षा खूपच अधिक विमाने दिसतील, आणि 'ब'हून पुढे 'क'कडे जातानासुद्धा एकाहून खूपच अधिक विमाने दिसतील, हे उघड आहे. मात्र या दोन्ही पल्ल्यांमध्ये दिसलेल्या विमानांच्या संख्या प्रत्येकी काहीही असोत, पण ती त्यात्या पल्ल्यांच्या कालावधीत त्यात्या टापूंमध्ये उडालेल्या विमानांच्या संख्यांपेक्षा अनुक्रमे जास्त आणि कमी (म्हणजे 'अ'हून 'ब'कडे जाताना जास्त आणि 'ब'हून 'क'कडे जाताना कमी) राहतील.

या सगळ्या भानगडीमागील तत्त्वाला 'डॉप्लर इफेक्ट' की कायसेसे नाव आहेसे वाटते. यालाच 'डॉप्लर शिफ्ट' असेही म्हणतात असे कधीतरी उडतउडत ऐकलेले आहे. चूभूद्याघ्या.

दूरवरून भोंगा वाजवत आपल्या दिशेने येणार्‍या वाहनाच्या भोंग्याची पट्टी ही तेच वाहन आपल्याला ओलांडून दूर जाऊ लागले की ऐकू येणार्‍या पट्टीपेक्षा वरची असते, त्यामागेही हेच कारण असते म्हणे.

प्रकाशाच्या बाबतीतसुद्धा जर पाहणार्‍याचा वेग प्रकाशाच्या वेगाशी तुलना करण्यासारखा असला, तर प्रत्यक्षातल्या रंगांऐवजी या इफेक्टमुळे भलभलते रंग दिसू लागतात म्हणे. एकंदरीत जसजसा वेग वाढतो तसतसा दिसणार्‍या रंगात स्पेक्ट्रममध्ये लालकडून जांभळ्याच्या दिशेने फरक पडत जातो म्हणतात. ही भानगड काय आहे ती पदार्थविज्ञान, सापेक्षतावाद वगैरे गोष्टींचा सखोल अभ्यास केलेली मंडळीच समजावून सांगू शकतील.

यावरून एक विनोद ऐकलेला आहे. एकदा एका जोराने वाहन चालवणार्‍या चालकास लाल सिग्नल तोडल्याबद्दल पोलीसमामाने पकडले असता त्याने डॉप्लर शिफ्टचे कारण दिले. "त्याचं काय आहे मामा, सिग्नल लाल असेलही, पण माझा स्पीडच इतका होता, की डॉप्लर शिफ्टमुळे मला तो हिरवा दिसला, म्हणून मी जात राहिलो. आता यात माझा काय दोष?"

चालकाच्या दुर्दैवाने भलतेसलते रंग दिसण्याची काही अन्य कारणेही पोलीसमामास ठाऊक असल्याने त्याने चालकास अशा अन्य कारणासाठी अटक केली.

असो.

अ विमानतळावरुन ६ वाजता निघताना त्याला ब विमान तळावरुन रात्री १२ वाजता निघालेल उतरताना विमान दिसेल.

तसेच ब विमानतळावर उतरताना ब विमान तळावरुन निघणारे दुपारी १२ वाजताचे विमान निघताना दिसेल.

म्हणजे रात्री १२ ते दुपारी १२ ( २ ही धरुन) एकुण १३ विमाने त्याला क्रौस होतिल.

पंगा ह्यांचे विस्तृत उत्तर पटण्याजोगे.

मात्र एक चोप्यपस्तेची चूक झाली आहे! (५ वाजेपर्यंत पहाट ठीक पण त्यानंतरही पहाट?)

हेच गणित एकदम सोप्या पद्धतीने कसे सुटेल?

दोन विमानं एकमेकांच्या विरुद्ध दिशेला 'क्ष' वेगाने उडत आहेत, हे सोपं करुन एकच विमान दुसर्‍या विमानाकडे '२क्ष' वेगाने जात आहे असे म्हणता येईल.

क्ष वेगाने विमानतळातील अंतर ६ तास आहे, म्हणजे ६ तासात एकीकडुन दुसरीकडे ६ विमानं जातील. आता आपण बसलो आहोत त्या विमानातुन निरीक्षण केले तर समोरील विमाने २क्ष वेगाने आपल्याकडे येत असल्याने ६ तासात १३ विमाने आपल्याला क्रॉस करतील (पहिल्या तासाची सुरुवात, शुन्यापासुन काउंटर सुरु).

११ विमाने आकाशात दिसतील, (+१ विमान धावपट्टीवरून उडताना दिसेल, ते मोजायचे का?), (+१ विमान धावपट्टीवर उतरताना दिसेल, ते मोजायचे का?)
वरील प्रश्नांची उत्तरे होय/नाही असतील, त्यावरून ११-१३ असे उत्तर मिळेल.
त्यापेक्षा उडायची वेळ ५ तास ५९ मिनिटे, किंवा ६ तास १ मिनीट असे ठेवले असते तर बरे झाले असते. वरील दोन प्रश्न विचारण्याची गरज पडली नसती.