फ्रॅक्टल्स

मी चौथीत असताना माझ्याकडे एक पुस्तक होते. त्या पुस्तकाच्या मुखपृष्ठावर एक मुलगा आणि मुलगी हे एक पुस्तक हातात घेतलेले दाखवले होते. त्यांच्या हातात दाखवलेल्या पुस्तकाचे मुखपृष्ठ तसे कोरेच होते. पण मी काहीतरी चित्र काढावे म्हणून त्या मुलांच्या हातातल्या कोऱ्या पुस्तकावर अजून एक मुलगा मुलगी काढले. अर्थात, त्या छोट्या जागेत मावतील असे आणि माझ्या चित्रकलेप्रमाणेच. महत्वाचे म्हणजे त्या मुलांच्या हातात मी पुन्हा तसेच एक पुस्तक दाखवले. तेव्हा मी काही फार पुढे विचार केला नाही. काही वर्षानंतर माझ्या लक्षात आले की पुस्तकाच्या मुखपृष्ठावर तेच पुस्तक हातात घेतलेले मुलगा मुलगी दाखवले, तर त्यांच्या हातातल्या पुस्तकाच्या मुखपृष्ठावर परत एकदा तसेच पुस्तक हातात घेतलेले मुलगा मुलगी दाखवावे लागतील. अशाच प्रकारे ही शृंखला चालूच राहील. म्हणजेच ते पुस्तकाचे मुखपृष्ठ कितीही क्षमतेच्या सूक्ष्मदर्शकाखाली ठेवले तरी मुखपृष्ठ तसेच दिसत राहील.
मुख्य पुस्तक - त्यावर मुलं- त्यांच्या हातात तेच पुस्तक - त्यावर परत तीच मुलं - आणि परत त्यांच्या हातात तेच पुस्तक आणि पुढे सुरू.
अशा प्रकारचे कितीही झूम केले तरी तसेच दिसणारे आकार म्हणजे फ्रॅक्टल्स.

लेविस रिचर्ड्सन

लेविस रिचर्ड्सन हे विसाव्या शतकातील एक मह्त्वाचे शास्त्रज्ञ. त्यांचे महत्वाचे योगदान म्हणजे की हवामानाचे अंदाज वर्तवण्याकरता गणितीय समिकरणांचा वापर. समजा मुंबई बेटावरील १०० ठिकाणचे आताच्या क्षणी असलेले तापमान,आर्द्र्ता, दाब, वार्याचा वेग आणि दिशा इ माहिती जमा झाली तर त्याच १०० बिंदुंवर २४ तासानी काय स्थिती असेल ते समिकरणे मांडून सांगता येते का ते पहावे हा त्यांच्या संशोधनाचा विषय होता. हेच काम चालू असताना युरोपात पहिल्या महायुद्धाचा भडका उडाला. १९१६ ते १९१९ या काळात त्यानी युद्धतील सैनिकाना वैद्यकिय सेवा पुरवण्याचे काम केले. मात्र याही काळात तांचे हवामानावर काम सुरुच राहिले. १९२२ मध्ये शेवटी त्यानी या विषयावरचे पुस्तक प्रकशित केले. मात्र युद्ध जवळून पाहिल्यामुळे युद्धाचा त्यांच्या मनावर खोलवर परिणाम झाला. हवामानाशी संबंधित जशी समिकरणे मांडता येतात तशी युद्धासारख्या विध्वंसक संघर्षांचीही मांडता येतील का आणि तसे असेल तर त्यावरून युद्ध रोखता येईल का, यावर संशोधन करण्यास रिचर्डसन यानी सुरुवात केली. त्यांचे ते संशोधन हा लेखाचा विषय नाही. मात्र संशोधन करताना त्याना एक विलक्षण गोष्ट जाणवली. विविध देश आपापल्या शेजारच्या देशांशी असलेल्या सीमा नोंदवत असतात, त्यात त्याना तफावत आढळून आली, म्हणजेच आपल्यात किती लांबीची सीमा आहे या बाबत शेजार्यांत एकमत नव्हते. हा फरक मुळात वेगळे वेगळी मोजपट्टी वापरल्यामुळे झालेला आहे हे त्यानी दाखवुन दिले. देशांच्या सीमा या वेड्यावाकड्या असतातच. त्यातही रिचर्ड्सन यानी या 'वेडेवाकडे'पणाचे मोजमापही करून दाखवले.
खाली दाखवलेल्या आकृतीमधून हे आपल्याला समजून येईल, 'अ' ते 'ब' यांच्या मध्ये अशी वेडीवाकडी सीमा आहे. मोजपट्टी १ ही मोठी पट्टी घेऊन मोजले तर ही सीमा, समजा १ फूट भरेल. कारण मधले उंचवटे - खळगे हे असे छोटे आहेत की ते या मोठ्या पट्टीने मोजणे जमणार नाही. मग आपण एक लहान पट्टी घेतली (मोजपट्टी २) जी पहिल्यापेक्षा १/४ लांबीची आहे. या पट्टीने मधले उंचवटे-खळगे मोजले जातील आणि एकूण ८ तुकडे पण १/४ फूट लांबीचे मोजले जातील, म्हणजेच 'अब' अंतर ८ * १/४ = २ फूट असे मोजले जाईल, म्हणजे लहान पट्टी घेतल्याने अंतर दुप्पट झाले !! अजून लहान पट्टी घेतली तर मात्र आणखी पुढे वाढ होणार नाही. आता आपल्याला वर्तूळाचा परीघ पट्टीने मोजायचा असेल तर काय होईल याचा विचार करू. साध्या सरळ मोजपट्ट्या वापरायच्या असून त्यांची टोके कायम वर्तुळावर राहतील अशा पद्धतीने मोजणी करायची आहे. सुरुवातीला आपण जशा लहान लहान पट्ट्या घेउ तसे परीघाचे मोजमाप वाढत जाईल पण एका मर्यादेनंतर मात्र ही वाढ अगदी सुक्ष्म होईल आणि परीघ एका संख्येवर स्थीर होईल. कमी लांबिच्या पट्ट्या वर्तुळाकार आकार नीटपणे व्यापतील हे आपल्याला सहजच लक्षात यईल.

आता अजुन एका शक्यतेचा विचार करुयात. समजा तुमच्याकडे अनंत लांबीचा दोरा आहे आणि तो मर्यादीत क्षेत्रफळाच्या गोल डबीत ठेवायचा आहे अनेक वेळा गुंडाळून किंवा स्पायरल न करता, अगदी सहज, न गुंतवता, परत डबीतून बाहेर येईल असा, तर ते शक्य आहे का? कोख वक्ररेषा नावाच्या आकाराने हे शक्य आहे.
खाली आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे आपण एका समभूज त्रिकोणापासून सुरुवात करू. त्या त्रिकोणाच्या प्रत्येक बाजुवर त्या बाजुच्या १/३ लांबीची भुजा असलेला आणखी एक समभूज त्रिकोण काढला. रेषेतील हिरवा भाग सोडून द्या, काळ्या रंगातल्या रेषा हा आपला हवा असलेला आकार आहे. आता, या दुसर्या आकारात जे समभूज त्रिकोण आहेत (एकूण ६) त्यांच्याही भुजांवर आधी केलेली क्रिया करा. मग खालच्या ओळीतला आकार तयार होईल. असे सतत करतच राहिले तर आपल्या लक्षात येईल की कितीही वेळा ही प्रक्रिया केली तरी तिला अंत असणार नाही. हाच आकार 'कोख वक्ररेषा' (Koch Curve) या नावाने ओळखला जातो. या प्रक्रियेला अंत नसला तरी, हा आकार काही त्या मूळ त्रिकोणाच्या परिवर्तूळाच्या बाहेर जाणार नाही. म्हणजेच या आकारचे क्षेत्रफळ मर्यादीत आहे पण लांबी किंवा परिमिती अमर्याद आहे. दरवेळी तुम्ही वेगळे मोजपट्टी घेऊन मोजायला जाल तर निराळी परिमिती मिळेल आणि जशा जशा छोट्या पट्ट्या घ्याव्यात तशी परिमिती वाढतच जाईल. वर्तुळाप्रमाणे स्थिरावणार नाही किवा वरच्या ‘अब' अंतराप्रमाणे पटकन एकच उत्तर मिळणार नाही. पट्टीची लांबी, आणि मोजलेले अंतर यांच्या काही जोड्या पुढील प्रमाणे देता येतील. १ - ३, १/३ - ४, १/९ - १६/३ आणि पुढे सुरू. खरेतर दरवेळी पट्टी १/३ केली असता मोजलेले अंतरही ४/३ पट होते असे सरळ सुत्र यामागे आहे. म्हणजेच कोख वक्ररेषेच्या परिमितीला काही अंत नाही, ती अनंत आहे. तुमच्याकडे पट्टी किती लांबिची आहे त्याप्रमाणे निरनिराळी किंमत आपल्याला मोजता येईल. म्हणजेच 'अब' हे आधी पाहिलेले अंतर, वर्तुळाचा परीघ, आणि कोख वक्ररेषा यांच्या वेडेवाकडेपणात फरक आहे. रिचर्ड्सन यानी देशांच्या सीमा, ज्या की दर्याखोर्यातून जात असतात, त्या मोजताना हा वेडेवाकडेपणाचा घोळ बरोबर लक्षात आणून दिला. हा घोळ आता आपल्या नेमका लक्षात आला असेलच.

आता या वेडेवाकडेपणाचे मोजमाप कसे करता येईल ते पाहु. सारणीत आपण साध्या सरळ रेषेची मोजणी आणि कोख वक्ररेषेची मोजणी मोजपट्टीप्रमाणे कशी बदलते ते दाखवले आहे. आता रेषेवर पट्टी १/३ केली तर मोजलेल्या तुकड्यांची (एकुण लांबी तेवढीच आहे) संख्या तिप्पट होते. तर कोख वक्ररेषेची तुकड्यांची संख्या ४ पट होते जेव्हा पट्टी १/३ होते. त्यामुळे जर रेषेसाठी log(3)÷log(3) आणि कोख वक्ररेषेसाठी log(4)÷log(3) असे गुणोत्तर काढले तर ते अनुक्रमे १ आणि १.२६१ असे येईल. रेष एकमितीय (one dimensional) आहे आणि तिचे हे गुणोत्तर १ येते हे विशेष नाही, मात्र वक्ररेषा एकाच प्रतलात आहे पण तिचे हे गुणोत्तर १.२६१ आहे. अशा प्रकारे वेडेवाकडेपणाचे मोजमाप शक्य आहे.

बेन्वा मॅन्डेल्ब्रॉट
मॅन्डेल्ब्रॉट (१९२४-२०१०) हे IBM या अमेरिकेतील कंपनीत गणितात संशोधन करीत होते. तिथे मॅन्डेल्ब्रॉट यांचे लक्ष शेअर बाजारातील शेअर्सच्या किमतींच्या हालचालीकडे होते. अर्थात ते वैयक्तिक फायद्याकरता नव्हे तर संशोधनाचा विषय म्हणून. तो अभ्यास करत असताना त्याना लक्षात आले की शेअरच्या किंमतींचे ग्राफ आहेत ते ही Zoom in केले तरी परत परत तसेच दिसतात, अगदी वरती उल्लेख केलेल्या पुस्तकाच्या मुखपृष्ठासारखे !! त्यातही पुढे जाऊन त्याना अशाच घटना नाईलचे पूर, कापूस आणि गव्हाच्या किमती यातही दिसुन आल्या. आपण वर पाहिल्याप्रमाणे काही विशिष्ट आकारांच्या वेडेवाकडेपणाची जाणिव शास्त्रज्ञाना झालेली होती, मात्र मॅन्डेल्ब्रॉट यांचे योगदान असे की त्यानी त्यांच्या काळापर्यंतचे संशोधन एकत्र करून ते सादर केले आणि फ्रॅक्टल्स हे नावही त्यानी स्वत: अशा आकाराना दिले. तसेच इथे उल्लेख केल्याप्रमाणे फ्रॅक्टल्स हे केवळ मनातले आकार न राहता ते प्रत्यक्षातही कसे अस्तित्वात आहेत हे देखील दाखवून दिले. तसेच त्यानी फ्रॅक्टल मिती (dimension) ही संज्ञाही प्रचलीत केली. वेडेवाकडेपणाचे मोजमाप म्हणतात ते हेच, आपण वरती त्याची मोजणी करून पाहिली. त्यांच्या कार्याच्या सन्मानार्थ मॅन्डेल्ब्रॉट सेट असे नाव एका फ्रॅक्टलला देण्यात आले, त्याचे ऍनिमेशन (https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set) जरूर पहावे. अर्थात, मॅन्डेल्ब्रॉट यांच्या नंतर असे आकार विविध क्षेत्रात शास्त्रज्ञाना दिसू लागले आणि मग आपापल्य क्षेत्रात त्या संकल्पनेचा उपयोग सुरू झाला.

संदर्भ
[1] Hunt, Julian CR. "Lewis Fry Richardson and his contributions to mathematics, meteorology, and models of conflict." Annual Review of Fluid Mechanics 30.1 (1998): xiii-xxxvi.
[2] Barcellos, Anthony. "The fractal geometry of Mandelbrot." The Two-Year College Mathematics Journal 15.2 (1984): 98-114.
[3] Mandelbrot, Benoit. “How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension.” Science, vol. 156, no. 3775, American Association for the Advancement of Science, 1967, pp. 636–38.
[4] Mandelbrot, Benoit B. "A multifractal walk down Wall Street." Scientific American 280.2 (1999): 70-73.
[5] Gomory, R. Benoît Mandelbrot (1924–2010). Nature 468, 378 (2010)