'पाय'विषयी थोडेसे -२

नमस्कार,
गेल्या आठवड्यात पाय बद्दल थोडी माहिती(http://www.misalpav.com/node/17603) बघितली. आता पायची किंमत काढण्याच्या काही सोप्या पद्धती पाहू-
आर्किमिडिजच्या तत्वावर आधारलेली पद्धत-बहुकोन आणि त्याभोवती वर्तुळ्(circumscribed). बहुकोनाच्या बाजु जेवढ्या जास्त तेवढा त्याची परिमिती आणि वर्तुळाचा परिघ ह्यातील फरक कमी असेल.

वरील आकृतीतल्या षटकोनाचे उदाहरण घेऊ.प्रथम षटकोनाची परिमिती काढू.
समजा वर्तुळाची त्रिज्या १/२ आहे.षटकोन असल्याने ∠GEH = 60 अंश. तर ∠GEZ = 30 अंश.
sin 30 ची किंमत १/२ असल्याने, GZ किंवा HZ ह्याची लांबी १/४ येईल. षटकोनाची परिमिती GZ च्या बारापट म्हणजे ३ असेल.
समजा N बाजुंचा बहुकोन असेल तर परिमिती किती येईल्?वरचेच तत्व वापरले तर-
∠GEZ = 1/2 * ३६०/N एवढा असेल. म्हणजे १८०/N अंश. बाजुची लांबी K असेल तर-
sin GEZ= (K/2)/त्रिज्या = K/2 => K = 2* sin GEZ.
परिमिती N*K = 2*N*sin GEZ = 2*N*sin १८०/N
वर्तुळाचा परिघ = २ * पाय* त्रिज्या = पाय
परिमिती आणि परिघाची तुलना केली तर पायची किंमत येते N*sin १८०/N
येथे त्रिज्या १/२ घेतल्याने वर्तुळाचा परिघाची किंमत पाय आहे.
त्रिकोण असेल तर ३*sin ६० = २.५९८०७६२
षटकोन असेल तर ६*sin ३० = ३.00000
३६ बाजुंचा बहुकोन असेल तर पाय = ३.१३७६०६...
संगणकाच्या साहाय्याने १०,००० बाजुंच्या बहुकोनाची परिमिती म्हणजे १/२ त्रिज्या असणार्‍या वर्तुळाचा परिघ म्हणजेच पायची किंमत येते - ३.१४१५९२६०१९१२६६५६९२...
दशमान पद्धत वा त्रिकोणमिती तेव्हा युरोपिय देशांत प्रचलित नसावी. आर्किमिडीजने ९६ बाजुंचे बहुकोन काढून -मध्ये वर्तुळ काढले.बहुकोनांच्या परिमितीची सरासरी म्हणजे -मधल्या वर्तुळाचा परिघ.

दुसरी पद्धत - बहुकोन आणि त्यात वर्तुळ काढणे(inscribed)- त्रिज्या १/२ असेल तर वरील पद्धत वापरुन बहुकोनाची परिमिती म्हणजेच पायची किंमत येते-
N*tan १८०/N
त्रिकोण असेल तर पायची किंमत येईल- ५.१९६१५२...
षटकोन असेल तर पायची किंमत येते- ३.४६४१०१६१५
३६ बाजुंचा बहुकोन असेल तर पायची किंमत येते- ३.१४५९१८८६९
१०,००० बाजुंचा बहुकोन असेल तर पाय = ३.१४१५९२७५६९४४०५२९१..

तिसरी पद्धत- चौरस मोजून.

पूर्ण चौरसांची संख्या + १/२*(अपूर्ण चौरसांची संख्या) म्हणजे साधारण वर्तुळाचे क्षेत्रफळ.

वरील आकृतीत्- त्रिज्या आहे ६.वर्तुळाचे क्षेत्रफळ ३६*पाय एवढे असेल.
पूर्ण चौरसांची संख्या-८८
अपूर्ण चौरसांची संख्या- ४२
३६*पाय = १०९
पायची किंमत येते- ३.०२७७७७....
दहा त्रिज्या असलेले वर्तुळ काढून पायची साधारण किंमत येते- ३.१

बीजगणितीय पद्धती- पाय भूमितीपलिकडेही गणिताच्या ईतर शाखांमध्येही दिसतो.पहिल्या भागात्-प्रतिसादांत काहींनी पायच्या किंमती काढ्ण्याची सुत्रे दिली.यात ऑयलर आणि रामानुजन ह्यांची सुत्रे प्रसिद्ध आहेत.१९११ साली रामानुजन ह्यांनी दिलेले एक सुत्र-
पाय = √(१+२√ १+३√ १+४ √ १+.......
दिसायला सोपे दिसणारे सुत्र पण प्रूफ बर्‍यापैकी कठिण.
पायची किंमत काढण्याच्या बीजगणितिय पद्धती-विशेष करुन आवर्तने(series?) वापरून.
पाय = ४/१ - ४/३ + ४/५ - ४/७ + ४/९ - ४/११ +.....
२/पाय = (१- १/४)(१ - १/१६)(१- १/३६)(१ - १/६४).....

पायचे दशांश चिन्हानंतरचे अंक लक्षात ठेवण्यासाठी जगभरात अनेकांनी कविता/गाणी बनवली!.
डच भाषेतले हे मजेशीर नेमॉनिक-
Eva,o lief, o zoete hartedief uw blauwe oogen zyn wreed bedrogen
(Eva oh darling, love,your blue eyes are cruelly deceived)!
दशांश चिन्हानंतरचे ५० अंक लक्षात ठेवण्यासाठीही नेमॉनिक्स आहेत.
भारतिय भाषांमध्ये ,मराठीत अंक लक्षात ठेवण्यासाठी कोणी अशी नेमोनिक्स बनवली आहेत का? नसल्यास मिपाकरांनी बनवण्यास मदत करावी.
धन्यवाद.