नमस्कार,
दररोज कुठला ना कुठ्ला डे साजरा होत असतो. हल्लीच 'पाय डे' साजरा झाल्याची बातमी वाचली आणि हा नक्की काय प्रकार आहे असा प्रश्न पडला आणि पाय विषयीची उत्सुकता वाढली.
शालेय जीवनापासुन डिग्री मिळेपर्यंत अधून मधुन डोकावणारा पाय्,त्याचा वाढदिवस म्हणून १४ मार्च साजरा केला जातो.योगायोगाने आईन्स्टाईन ह्यांची जन्मतारीख १४ मार्च आहे.
शालेय पुस्तकांतून परिघ आणि व्यास ह्यांचे प्रमाण म्हणजे पाय असे सांगितले जायचे. आणि वर्तुळाचे क्षेत्रफळ काढायचे झाल्यास पाय* त्रिज्या*त्रिज्या. हे प्रमाण कोणी काढले आणि पायची किंमत ३.१ अशी साधी न घेता त्याला न संपणारे अंक लावून irrational म्हणायचे कारण काय? ह्या प्रश्नांची उत्तरे मिळेपर्यंत नोकरी चालु झाली होती.
कॅल्क्युलेटरवर पायची किंमत साधारण ३.१४१५९२७५८ अशी येते. पाय म्हणजे- २२/७ अशी त्यातल्यात्यात समजणारे प्रमाण.
गणित्,विज्ञानाची परंपरा असलेल्या ईजिप्शियन संस्कृतीत(ख्रिस्तपूर्व १६००) परिघ आणि व्यास ह्यांचे मोजमाप करुन त्याचा अभ्यास केल्याचे पुरावे सापडतात.हजारो वर्षापूर्वींपासुनचा न सोडवता येणारा प्रश्न म्हणजे- squaring the circle.वर्तुळाएवढेच क्षेत्रफळ असलेला चौरस कंपास आणि (अंक नसलेल्या)पट्टीच्या साहाय्याने काढणे. हा प्रश्न सोडवत असताना काही निष्कर्ष काढले गेले-समजा परिघ d असेल आणि (८/९)*d चा चौरस काढला तर वर्तुळ आणि चौरस ह्यांचे क्षेत्रफळ साधारण सारखेच असेल.
वर्तुळाचे क्षेत्रफळ पाय्*d*d/4 आणि चौरसाचे ६४*d*d/८१ .दोघांची तुलना केली तर पाय ची किंमत मिळते-
२५६/८१ = ३.१६०४९३८२७१६०४९३८२७२७१..... आपण वापरतो त्या ३.१४ च्या जवळपास येते.
अर्किमिडीजच्या The measurement of circle मध्ये परिघ,चौरसाविषयीचे सिद्धांत सापडतात. एक आहे-
१)काटकोन त्रिकोण- एक बाजु r असेल आणि दुसरी बाजु २*पाय्*r असेल तर त्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ आणि r त्र्यिज्या असलेल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ सारखे असते.
म्हणजे- त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ- १/२*(r)(२*पाय*r) =पाय*r*r . वर्तुळाचे क्षेत्रफळ म्हणून आपण जो formula वापरतो तो हा.
२)वर्तुळाची त्रिज्या r असेल ,२*r बाजुचा चौरस ,तर त्यांच्या क्षेत्रफळाचे प्रमाण- ११/१४ एवढे असते.
(पाय*r*r)/४*r*r = ११/१४
इथे पाय ची किंमत मिळते २२/७ !! शाळेत आपण पाय म्हणजे २२/७ सांगितले जायचे ते ह्यावरुन.
जगाला दशमान पद्धत देणार्‍या भारतात पायचा अभ्यास झाला नसल्यास नवल. ब्रम्हगुप्त ह्याने १०चे वर्गमूळ (म्हणजे साधारण- ३.१६२२) ही किंमत परीघ्/व्यासाचे प्रमाण म्हणून वापरली तर आर्यभट्ट- ह्यांनी ६२,८३२/२०,०००---> ३.१४१५६ ही किंमत वापरली.
हजारो वर्षे न सोडवता येणारा squaring the circle चा प्रश्न १९व्या शतकापर्यंत कायम होता.१८८२साली लिंडमन ह्या गणितीने असे करणे केवळ अशक्य आहे हे सिद्ध केले.आणि हा प्रश्न न सोडवता सुटला.!
१८९७ साली अमेरिकेतल्या इंडियाना राज्यात गूडविन ह्या गृहस्थाने काही पायच्या किंमती 'ठरवल्या'!-पाय-४/३.१६०४/३.२६ ..अशा काही. ह्या किंमती इंडियाना राज्याच्या बाहेर जो वापरेल त्यांनी गुडविन ह्यांना रॉयल्टी द्यायची असे बील पास करण्याची विनंती त्याने विधिमंडळात केली. गंमत म्हणजे हे बील सर्वांनी बीनविरोध मंजूरही केले! सुदैवाने अनेक वृत्तपत्रांनी ह्यावर टीका केली आणि बील शेवटी गुंडाळण्यात आले.
पाय हे ग्रीक अक्षरमालेतील सोळावे अक्षर.१६५२ मधे विल्यम ऑट्रेड ह्याने ह्याचिन्हाचा प्रथम वापर केला.प्रसिद्ध गणिती ऑयलर ह्यानेही १७३६ मध्ये ह्याचा वापर्-परिघ्/व्यास म्हणून चालु केला.रेनेसॉच्या काळात अनेक गणितींनी पायचीकिंमत काढण्याची सुत्रे शोधून काढली- काही भूमितीचा आधार घेवून तर काही बीजगणिताच्या सहायाने.यात श्रीनिवास रामानुजन ह्यांची infinite series वापरुन पायची किंमत काढण्याचे सूत्र प्रसिद्ध आहे.ह्याशिवाय पायच्या किंमती काढण्याची अनेक बीजगणितीय सुत्रे त्यांनी मांडली.
पायची किंमत विविध मार्गाने काढायचे प्रयत्न २० व्या शतकाच्या मध्यापर्यंत- संगणक अवतरेपर्यंत सुरु होते.(अजुनही आहेत).
पुढील भागात पायची किंमती काढण्याच्या सोप्या भूमितिय पद्धती पाहू.
(संदर्भ- PI- biography of the world's most mysterious number)
प्रतिक्रिया
10 Apr 2011 - 6:50 pm | ३_१४ विक्षिप्त अदिती
रोचक लेख... मालिका वाचत आहे.
10 Apr 2011 - 7:37 pm | गणपा
+१
वाचतोय.
10 Apr 2011 - 8:36 pm | राजेश घासकडवी
असंच म्हणतो.
विक्षिप्तबाईंचा पहिला प्रतिसाद आला हे उचितच.
10 Apr 2011 - 11:25 pm | प्रास
हॅ हॅ :-D
+१ सहमत.
(अदिती आणि राजेश दोघांशीही....)
:-)
11 Apr 2011 - 8:43 pm | मराठे
+२२/७
10 Apr 2011 - 6:55 pm | ramjya
मस्त लेख ...वाचत आहे
10 Apr 2011 - 8:27 pm | रेवती
मस्त लेखन! शाळेतले दिवस आठवले.
मला पायची किंमय ३.१४ अशी लक्षात ठेवायला सोपी वाटायची तर बाबा मला २२/७ ने शिकवायचे.
पुढचे लेखन वाचण्यास उत्सुक!
11 Apr 2011 - 10:53 am | पंगा
...वापरून पाहिले आहेत काय?
२२/७च्या मानाने पायच्या बरेच जवळ जाते.
11 Apr 2011 - 4:28 pm | नितिन थत्ते
आमचे एक प्राध्यापक १००/३२ (२५/८) वापरायचे. भागाकाराला बरे जायचे.
10 Apr 2011 - 8:53 pm | विनीत संखे
ह्याच पद्धतीतला 'फाय' (Phi - ϕ) आठवला... दा विंची कोड मध्ये त्याचा रोचक तपशील आहे.... गणितापासून, जीवशास्त्र आणि समाजशास्त्रात सुद्धा!
π आणि ϕ दोन्ही करणी (irrational) संख्या आहेत.
12 Apr 2011 - 5:33 pm | मिहिर
irrational साठी मराठीत अपरिमेय वापरतात. करणी म्हणजे surds. हे शाळेतील गणिती ज्ञानावर आधारित.
13 Apr 2011 - 12:34 am | पंगा
आमच्या माहितीप्रमाणे surd ही सरदारजींकरिता महाविद्यालयीन slang term होती. (निदान आमच्या क्यांपसवर तरी चाले. जसे महाराष्ट्रीय म्हणजे घाटी, बंगाली म्हणजे बाँग, तसेच सरदारजी म्हणजे सर्ड.) यावरून "Surds are irrational quantities" असा विनोदही चाले.
13 Apr 2011 - 8:15 am | विनीत संखे
लक्षात आणून दिल्याबद्दल धन्यवाद... पण ईरॅशनल साठी मराठी शब्दकोशातला शब्द वापरला मी... करणी सुद्धा अपरिमेयच आहेत.
:-)
10 Apr 2011 - 11:51 pm | मन१
पुढचा भाग येउ द्यात पटकन.
शेवटी तात्पर्य काय?
३_१४ हा एखादा पाय च्या जवळ जाणारा आकडा असो नाही तर एखाद्या आयडीचं किंवा बायडीचं नाव. त्यानं पब्लिकला भंडावुन सोडलच पाहिजे.आणि त्याचे नियम, मोजमापं काय, हा नक्की वागेल कसा हे कळेपर्यंत पब्लिक भ्रमिष्ट झालच पाहिजे.
;-)
("बायडी" हा शब्द १००% पेस्तनकाकांकडुन उधार)
--मनोबा
10 Apr 2011 - 11:49 pm | मन
लेख आवडला हे वरतीच लिहिलय माझ्या एका आयडीकडुन.
आता जरा अवांतरः-
ज्यानं त्यानं आपल्या जिम्मेदारीवर वाचावं.
१. भूमितीचा डोलारा मजबूत "पाया"वर उभं असणं आवश्यक आहे. भूमितीचा अभ्यास मी एका पायावर राहुन करायला तयार आहे.
२.भूमितीचा आणि वर्तुळाचा नीट अभ्यास न केल्यानं तुम्हाला अ-पाय होउ शकतो! त्रिज्या- परिघ्-व्यास ह्यांच्या घनिष्ट संबंधाचा अभ्यास हाच त्यावरचा उ-पाय!!
३.गणिताचा "पाया" भक्कम करायचा असेल तर भूमितीचा आणि वर्तुळाचा अभ्यास करा. अन्यथा निव्वळ वर्तुळाकार गुण मिळुन "पाया"खालची जमीनच सटकायची, हां.
४.आत्ता कळलं "पाय" थागोरस ला भूमितीत इतकं महत्त्व का आहे ते.
५.ग्रामिण भाषेत सांगायचं तर इजिप्शियनांचा "पाय"लच(पयलच) गणित लै चुकलं ब्वा.
६.भूमितीनं नेहमीच मला पायात "पाय" घालुन जोरदार तोंडावर आपटलय. पायाखाली तुडवलय.
७.एखादा अट्टल गणिती आणि भूमितीचा वर्तुळाकार व्यसनी आपल्या नवीन जन्मलेल्या मुलीचं नाव काय ठेवेल?
--पाय-ल!
आणि त्याचं आवडतं फळ? -- पाय नापल !!
८. आर्किमिडीज मुळं वर्तुळाच्या अभ्यासाचा "पायं"डा पाडला हे उत्तम!
९.भारतात महत्वाचा राष्ट्रिय प्राणी गाय असेल तर महत्त्वाचा राष्ट्रिय आकडा पाय असला पाहिजे.
१०. धागालेखकाचा "पायगुण" नक्कीच चांगला असला पाहिजे.
११. चला आता माझी बडबड थांबवतो. थांबवायला लागतच काय.
हाय काय अन् नाय पाय.....
सॉरी सॉरी
हाय काय अन् नाय काय.....
महत्वाची सूचना:- वरील दश्-सूचना मी कुठलही अ-पायपान(अपेयपान) न करता केल्या आहेत ह्यावर कृपाय (कृपया) विश्वास ठेवावा. कारण तस्लं काही पिण्याइतका माझ्या पाय-सा (पैसा) नाहीये. ;-) ; -)
--मनोबा
( आर्किमिडिज आला, त्यानं "पाय"लं आणि त्यानं जिंकलं.)
11 Apr 2011 - 3:05 am | अरुण मनोहर
हॅ: हॅ:हॅ...
कशात काय अन फाटक्यात पाय!
19 Apr 2011 - 6:50 pm | वपाडाव
मनोबा पायाळु आहेत असे वाटुन गेले...
19 Apr 2011 - 8:01 pm | मन१
वपा(य)डाव शी सहमत.
--मनोबा पायवाला
11 Apr 2011 - 12:11 am | आत्मशून्य
.
11 Apr 2011 - 12:43 am | अविनाशकुलकर्णी
पाय चे क्यालक्युलेशन आर्य भट्ट याने शोधुन काढले असे वाचण्यात आले...
नक्कि काय?
Aryabhata mentions in the Aryabhatiya that it was composed 3,600 years into the Kali Yuga, when he was 23 years old. This corresponds to 499 CE, and implies that he was born in 476 CE .[1]
Aryabhata worked on the approximation for pi (π), and may have come to the conclusion that π is irrational. In the second part of the Aryabhatiyam (gaṇitapāda 10), he writes:
caturadhikam śatamaṣṭaguṇam dvāṣaṣṭistathā sahasrāṇām
ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vṛttapariṇāhaḥ.
"Add four to 100, multiply by eight, and then add 62,000. By this rule the circumference of a circle with a diameter of 20,000 can be approached."[10]
This implies that the ratio of the circumference to the diameter is ((4 + 100) × 8 + 62000)/20000 = 62832/20000 = 3.1416, which is accurate to five significant figures.
It is speculated that Aryabhata used the word āsanna (approaching), to mean that not only is this an approximation but that the value is incommensurable (or irrational). If this is correct, it is quite a sophisticated insight, because the irrationality of pi was proved in Europe only in 1761 by Lambert.[11]
After Aryabhatiya was translated into Arabic (c. 820 CE) this approximation was mentioned in Al-Khwarizmi's book on algebra.[3]
http://en.wikipedia.org/wiki/Aryabhata
11 Apr 2011 - 8:53 am | नेत्रेश
पंमकिन पाय किवा अ‍ॅपल पाय पद्दल काही चांगले लिहीले असेल, गेलाबाजार कुठल्यातरी स्वादिष्ठ पाय चा फोटो पहायला मिळेल असे वाटुन धागा उघडला होता.
पण गणितातल्या पायचि माहीती मिळाली.
11 Apr 2011 - 12:19 pm | अनुराग
सूण्दर माहिति , आवडले!
11 Apr 2011 - 12:24 pm | मराठमोळा
छान उजळणीपर माहिती,
पण आम्ही आता पाट्या टाकण्याचे काम करतो त्यामुळे आता या गोष्टींशी काही संबंध राहिला नाही. :D
11 Apr 2011 - 3:48 pm | वाहीदा
शालेय दिवस आठवून दिल्याबध्द्ल धन्यवाद
पाय ची किंमत पायाचे अंगठे पकडून छान समजली होती
11 Apr 2011 - 3:52 pm | सुहास..
प्रसन्ना !!
शनिवार-रविवार ची फिरती ची कामे उरकली वाटत ;) ...असो अजुन येवु देत .हा भाग आवडेश !!
11 Apr 2011 - 3:58 pm | परिकथेतील राजकुमार
३_१४ वैग्रे आकड्यांचे कुठे कौतुक झाले कि आम्हाला जळजळ होतेच होते.
असो...
तशी ह्या आकड्यांशी आणि आकड्याशी संबंधित लोकांशी आमचा ३६ चा आकडा आहे. त्यामुळे पुढचा भाग वाचेनच असे नाही ;) पण चिरोटाशेठचा लेख असल्याने प्रतिक्रीया दिली आहे.
11 Apr 2011 - 4:31 pm | अन्या दातार
वाखू साठवल्या गेली आहे!
12 Apr 2011 - 7:08 pm | स्मिता.
'पाय'ची छान माहिती दिलीये. खूप दिवसांनी शाळेत आल्यासारखं वाटलं.
पाय ची ३.१४३ ही किंमत लक्षात राहण्यासाठी आमच्या एका बाईंनी 'Yes, I love you' ची गंमत सांगितली होती. प्रत्येक शब्दातल्या अल्फाबेट्सचा काऊंट आणि , ला . केलं की आली पायची किंमत.
13 Apr 2011 - 12:52 am | Nile
पूढील लेख वाचण्यास उत्सुक.
पुर्वी भारतात यज्ञकुंडांच्या आकाराला आणि क्षेत्रफळाला महत्त्व असावे असे दिसते. म्हणुन समान परिघ असलेल्या चौरसाचे वर्तुळ कसे करावे असा प्रश्न सोडवायचे प्रयत्न त्याकाळी भारतात झालेले होते असे दिसते. पुर्वी ही मापे दोरीने घेत असत म्हणून याला शुल्बसुत्रे म्हणतात. आर्यभट्ट (की भास्कराचार्य) यांनी पायची (४ पुर्णांकांपर्यंत शोधुन काढलेली) किंमत शोधण्यात दाखवलेला रस यामुळेच असावा.
अवांतरः
भविष्यात एखाद्या सुंदर पोरीला पायची किंमत सांगायची वेळ आमच्यावर येउ दे रे आर्यभट्टा!
13 Apr 2011 - 12:49 am | पंगा
राउंडिंग ऑफ केले तरीसुद्धा पायची किंमत ३.१४२ इतकीच येते.
३.१४३ कुठून आले?
(किमतीकरिता pnemonic, की pnemonicकरिता किंमत?)
त्यापेक्षा, "Yes, I love me" असा (काहीसा narcissistic) कल दिला तर?
13 Apr 2011 - 12:51 am | Nile
जाउंद्या हो पंगा! प्रेमात सगळं माफ असतं की नाही, मग?
भलतेच मेले अरसिक ब्वॉ तुम्ही.
त्यापेक्षा, "Yes, I love ya" असे म्हणा की.
13 Apr 2011 - 12:51 am | पंगा
आणि स्वतःच्या प्रेमात तर स्वतःच सगळे माफ करायचे असते, नाही का? ;)
13 Apr 2011 - 1:07 am | पंगा
मेलो नाही अजून. जिवंत आहे.
हे म्हणजे ती भारतातली कॉलेजातली नाहीतर इंग्रजी माध्यमातली पोरे नाही का "येस, या", "नो, या", "कमॉन या" छापाचे* (* बीन देअर, डन द्याट.) इंग्रजी बोलतात, तसले वाटते. मग कर्म कोणते, हेच लक्षात येत नाही. "या" हे पादपूरणार्थात जाऊन फक्त "आय लव" एवढेच अर्थपूर्ण उरते.
असले कर्महीन, अकर्मक प्रेम करता येण्याइतकी पातळी नाही गाठली अजून - आणि तितकी वेळही आमच्यावर अजून आलेली नाही. (आम्ही आहोत ना!)
13 Apr 2011 - 5:47 am | Nile
<पीजे> अहो ते मेलच आदरार्थी बहुवचन का कायतरी होतं < / पीजे>
अहो, कसलं कर्म अन कसला कर्ता. प्रेमात सगळं सारखंच म्हणतात नाही का.
बरं ठीकाय, तुमच्या सोयीकरता अन तुमच्या पार्सिंगप्रेमापायी अजून एक सोल्यूशन. इथे स्ट्रिंग-कॅरॅक्टर्स वगैरे आणि स्पेस इज डिलीमीनेटर.
"Ya, I love u."
13 Apr 2011 - 1:13 am | धनंजय
छान!
हा पाय कुठल्याकुठे अनपेक्षितपणे उपटतो.
मागे एकदा कुठलेतरी संभवनीयतेचे गणित करत होतो, तर उत्तरात पाय होता!
फॅक्टोरियल काढायच्या स्टर्लिंगच्या समीकरणात पाय कुठून येतो त्याचेही सुरुवातीला आश्चर्य वाटले होते.
13 Apr 2011 - 7:15 am | हुप्प्या
पाय ही संख्या अनपेक्षितरित्या कुठे कुठे दिसून येते हे अगदी खरे.
१/१ + १/४ + १/९ + १/१६ + १/२५ + .... ह्या अमर्याद आवर्तनाची बेरीज ही (पायचा वर्ग)/६ इतकी येते.
( एका पूर्ण संख्येचा वर्ग करून त्याचा रेसिप्रोकल करा, अशा १ पासून पुढच्या सर्व संख्याचे करून त्यांची बेरीज करत जायची).
ऑयलर नामक एका महान गणितीने हा शोध लावला.
१ - १/३ + १/५ - १/७ + १/९ -१/११ + .... ह्या अनंत आवर्तनाची बेरीज पाय/४ येते.
(विषम संख्यांचा रेसिप्रोकल घ्या, घन ऋण चिन्हे आलटून पालटून वापरा आणि ह्या सगळ्यांची बेरीज करत जा).
वरवर पहाता ही बेरीज आणि पायचा संबंध लागत नाही.
19 Apr 2011 - 6:50 pm | वपाडाव
असेच म्हणायचे असेल ना आपणांस...
याला आम्ही "युलर" असे संबोधत असु...
असो न्यानात भर टाकल्याबद्दल धन्स...