गोष्ट सांगा गणित शिकवा .... 8

Primary tabs

राजा वळसंगकर's picture
राजा वळसंगकर in जनातलं, मनातलं
17 Apr 2021 - 10:43 pm

आत्ता पर्यंत: अंतराळात भ्रमण करून ज्ञानाच्या सीमा वाढवण्याच्या मोहिमेवर टीम पुणेला आय आर एस आर्यभट्टवर कॅप्टन नेमोंनी सहकारी म्हणून स्वीकारलं होतं. सध्या त्रिकोणी ग्रहावर... एरेटॉसथिनिस काकाबरोबर समद्वीभुज खंडाकडे जायला निघाले...

गोष्टीचा आधीचा भाग.... इथे टिचकी मारा

**************************

माझ्यासाठी विंडो सीट बुक कराल का प्लिज एरेटॉसथिनिस काका? सायलीने पटकन आपला क्लेम लावला. मला पण ... चिंट्याने सूर मिसळला. नेहा आणि सॅमीच्या मनातही हेच होत, पण स्वभावामुळे बोलले नाही इतकेच.

आकाशातून समद्विभुज खंड दिसू लागला. वैमानिकांनी अनौन्समेंट करत माहिती दिली. सम्पूर्ण खंड दिसावा म्हणून मुद्दाम विमान कमी उंचीवरून आणले आहे. पण थोड्याच वेळात वादळी वारं सुरू होईल असे कन्ट्रोल टॉवर कडून अंदाज कळला आहे. तेव्हा 2 मिनिटांनी आपण परत 50,000 फूट उंचावर जाणार आहोत. वादळी वारं थांबे पर्यंत खाली उतरू शकणार नाही...

****** खाली शहरात भटकताना...

एरेटॉसथिनिस काका माहिती देत होते...

वादळी वारं हे अजून न सुटलेलं कोड आहे. त्याचा परिणाम तुम्हाला दिसलेच. या बेटावर मोठ झाड नाही. शेती करणे पण अवघडच आहे कारण वाऱ्याने शेत भुई सपाट होते. धान्य नासुन जाते. त्यामुळे इथल्या झाडांना लागणारी बोरासारखे बी असलेले लहान फळं इथलं मुख्य उत्पादन. बिया उन्हात वाळवून त्याचे पीठ केले जाते. गर काढून जॅम, लोणची केले जातात... अनेक वनस्पतींची पाने भाजी कऱण्यासाठी वापरली जातात... समुद्रात मासळी भरपूर, त्यामुळे ते मुख्य आहारात नित्यनेमाने वापरली जातात. इथले मसाले वेगळे पण चविष्ट आहेत...

ग्रहावर जमिनीत बीळ करून राहणारे मूषक, साप खूपच आहेत. थोड्याफार प्रमाणात मोठे मासभक्षी प्राणी आहेत, पण त्यांना दाट झाडी झुडपांमुळे फारशी शिकार मिळत नाही. त्यामुळे संख्या कमीच... मनुष्य हाच सर्वात मोठा मासभक्षक प्राणी. मुषकांच्या बऱ्याच प्रजातींचे मास खाल्लं जात. साप बहुतेक विषारी आहेत, पण मनुष्याला त्यांचे विष मारू शकत नाही. पीडा मात्र खूप होते. पण सगळं विष तोंडाजवळच्या भागात असतं, त्यामुळे शरीराचा मागचा भाग खाण्यासाठी वापरला जातो.

म्हणजे आपल्याला उंदीर आणि साप खावा लागेल... चिंट्या कुजबूजला. एरेटॉसथिनिस काकांना बहुतेक ऐकू गेलं असावं, पण तसं न दाखवता ते म्हणले, तुमच्यासाठी शाकाहारी जेवणाची सोय आहे. एक गवता सारखी दिसणारी पाले भाजी आहे, अगदी तुमच्या शेपू सारखी... इइईई शेपू!!!! सायलीने किंचाळी दाबली... तेव्हड्यात विमानाला समद्विभूज बेटावर उतरण्यांची परवानगी मिळाल्याची अनौन्समेंट झाली.

राहण्याची सोय बेटाच्या बरोबर मध्यभागी असलेल्या पायथोगोरसच्या पुतळ्याच्या जवळच होती. हा मध्य बेटाचा अंत:मध्य आहे, म्हणजे तिनही कोनांचे द्विभाजक इथे मिळतात अशी माहिती मिळाली. मुख्य शहराचाही हा मध्य बिंदू आहे. शहर अष्टकोनी आहे. मध्य पासून आठ समद्विभुज त्रिकोन बाहेरच्या बाजूस पसरले आहेत असे वाटते. गमतीची गोष्ट म्हणजे इथे एकही "चौक" चार रस्त्यांच्या नाही – तीनच रस्ते चौकात मिळतात!

शहराची रचना मधमाश्याच्या पोळा सारखीच, पण प्रत्येक विभाग अष्टकोनी आहे. प्रत्येक विभागात एक मोठ्ठी इमारत, ती सुद्धा अष्टकोनी. दोन मजले जमिनीवर आणि बाकी खाली! सर्वात खाली रहाण्याची घरं. वरच्या बाजूला शाळा, कॉलेज, दवाखाने आणि इतर सोयी. त्याचा वरती दुकाने, मॉल, हॉटेल इतर व्यावसायिक सेवा. सर्वात वरती, जमिनीच्यावर ग्रीनहाऊस बागा, जॉगिंग ट्रॅक आणि खेळांसाठी ग्राउंड, ओपन एअर थिएटर वगैरे. पण सगळे अष्टकोनी बांधकामाच्याच्या आतमधे!

त्यामुळे बाहेरच्या रस्त्यांवर फिरणारी माणसे दिसणार नाहीत. पण जमिनी खालून तिसऱ्या मजल्यावर भुयारी मार्गाने सर्व विभाग जोडलेले आहेत. लांब जायचे असेल तर वर येऊन मेट्रो घ्यायची. जवळच्या विभागात जाण्यासाठी भुयारी मार्गातून चालत किंवा एसकलेटर आहेत. नुसते उभा राहून पुढे जाऊ शकता...

घरं खाली खोलवर असल्यामुळे भूगर्भातील उष्णतेचा चांगला वापर होतो. मोठे सौर ऊर्जेवर चालणारे पंखे वरची गार आणि ताजी हवा खाली नेतात. एअर कंडिशनिंग लागतच नाही. पाणीसुद्धा भूगर्भातून येणाऱ्या गरम आणि गार झऱ्यातून येत. हवे तसे, पण जपून वापरा.

उजेडासाठी दिव्यांच्या बरोबर आरशांची योजना केली आहे. सूर्यकिरण हवे तसे आणि हवे तेव्हडे अरश्यानी वळवता येतात. दिवसाचा उजेड जमिनीखाली सहज नेता येतो. त्याच किरणांनी सोलर बाटरी चार्ज होतात ज्या रात्रभर पुरतात...

ग्रहावरच्या अचानक सुरू होणाऱ्या वादळी वाऱ्यावर असा मार्ग काढलाय माणसाच्या बुद्धीने.

एरेटॉसथिनिस काकांना कामासाठी आता कुठेतरी जायचं होतं. तुम्ही आता हवं तिकडे फिरून या. ट्रायकोन मॅप्स अँप इन्स्टॉल करा. ते तुम्हाला कुठे कसे जायचे सांगेल. परत हॉटेलवर येण्यासाठी टेक मी होम वर टिचकी मारा. अँप सांगेल कसे यायचे ते... पण तुम्हालाही काम दिले आहे हे विसरू नका.

कामचुकारपणा आणि आळस, दोन्ही कुणालाच चालत नाही...

*********** संध्याकाळी हॉटेल वर ...

काका येण्याची वाट पाहत मुलं थांबली होती. त्यांचा बरोबरच जेवण करू असा विचार होता. चिंट्या चेष्टेचा मुड मधे होता –उंदराच्या आणि सापाच्या डिश नेहा ट्राय करती आहे, सायली शेपूची भाजी कशी खाते याची नक्कल करून दाखवत होता.

अँ हँ रे! तुझा काय उपास आहे का? का आळ्यांची उसळ ट्राय करायची आहे... गप्प बस जरा! जेवणाची इच्छाच घालवली... गप्पांच्या ओघात कामाची आठवण झाली. मिळालेली माहिती पुन्हा एकदा बघितली.

बेटाची 1200 X 1000 X 1000 km आहे. तिन्ही किनार्‍याला स्पर्श करून रिंग रेल्वे धावली पाहिजे. रूळ टाकणे 1 लाख रुपये प्रति km. 40 लाख प्रत्येक बाजूला 3 मुख्य स्टेशनसाठी आणि 20 लाख मधल्या 3 स्टेशनसाठी. 10 टक्के अवांतर खर्च. अंदाजपत्रक (एस्टीमेट) द्यायचा आहे.

ही माहिती फारच कमी आहे. किनाऱ्याला स्पर्श म्हणजे काय? एकदाच कुठेतरी करायचा का? तीनही बाजूच्या किनाऱ्याला समांतर धावली तर चालेल का? सॅमीने कुरकुर केली. सॅमी, हे प्रश्न काकांना विचारले पाहिजेत. अंदाजपत्रक देताना गृहितं स्पष्टपणे मांडली पाहिजेत – नेहा म्हणाली. गृहातांमुळे मोठा फरक येणार असेल तर ते स्पष्टपणे मांडून तीन ते चार वेगवेगळ्या योजना देता येतात का पाहू.

थोडं फार आपलंही डोकं चालव्हायला हवं. नकाशा बघून आडाखे बांधून सुरवात करू. हा फक्त एस्टीमेट आहे. प्रत्यक्ष करतील तेव्हा जास्त डिटेल पहातीलच ना?

वा! भूगोल शिकताना दुर्लक्ष केलं नाही ते बर झाले.

रिसेप्शन मधे भिंतीवर बेटाचा एक एरियल फोटो नकाशा लावला आहे. मी स्नॅप घेऊन येते नेहा म्हणाली आणि घेऊन आली. फोटो पाहताच चिंट्याने टाळी वाजवत, एलिमेंटरी माय डिअर नेहा वॉटसन! यु सी बट यु डू नॉट सी, डू यु? चिंट्याने हर्क्युल पोयरॉ बरोबर शेरलॉक होम्सही सुरू केलं होतं. सोल्यूशन डोळे वटारून आपल्याकडे बघते आहे.

जरा आमच्या सारख्या अज्ञानी पामरांच्या टाळक्यावर तुमच्या आगाध ज्ञानाचा आघात कराल का शेरलॉक महाराज? – सॅमी.

आपल्या चेष्टेकडे दुर्लक्ष करून चिंट्याने नकाशाकडे बोट दाखवले आणि पेपर नॅपकिन वर एक समद्विभुज त्रिकोन काढला. बहुतेक सर्वच गाव शहरं मध्यभागी कोंडाळे करून आहेत हे तुमच्या चाणाक्ष नजरेने हेरलेच असेल.

inscribed triangles

चिंट्याने त्रिकोनाच्या मध्यावर खूप ठिपके काढले. आता या सर्वांना रिंगण घालणारी रेल्वे, तीनही किनाऱ्याना स्पर्श करणारी म्हणजे त्रिकोनाच्या भुजांचे मध्य बिंदू जोडले की झाले! चिंट्याने त्रिकोनात एक उलटा अंतःस्थ त्रिकोन काढला. (चित्र बघा) खरोखरच तो अनेक गावामधून जात होता आणि बेटाच्या मुख्य वसाहती भागाला रिंगणही घालत होता. चिंट्याच्या निरीक्षण चांगलेच होते हे सर्वांनी कौतुकानी मान्य केले.

पुढचं प्रॉब्लेम आहे या अंतःस्थ त्रिकोनाचा परीघ काढणे! त्यातून रूळ टाकण्याचा खर्च मिळेल. बाकी 3 मोठी आणि 3 छोटी स्टेशन बांधण्याचा खर्च सरळ हिशोब आहे.

वा चिंट्या, खरच किती सोपं केलेस तू सगळं, आता हातासरशी परीघ किती ते सांग म्हणजे काम संपले! चिंट्या थोडा गडबडला, पण विचार करू लागला.

सॅमी काही बोलणार, तेव्हड्यात नेहाने त्याला थांबवले. गप्प राहण्यास सांगितले.

एलिमेंटरी पेक्षाही एलिमेंटरी, माय डोअर सॅमी, सायली अँड आंटी नेहा! त्रिकोनाचा मध्य बिंदु प्रमेय आठवा! “त्रिकोनाच्या दोन बाजूंच्या मध्यबिंदूंना जोडणारा रेषाखंड तिसर्‍या बाजूस समांतर असतो आणि तिसर्‍या बाजूच्या निम्मा असतो.” म्हणजे 1200 X 1000 X 1000 km त्रिकोनाचा अंतःस्थ त्रिकोन 600 X 500 X 500 km असेल.

परीघ 1600 km. गुणिले 1 लाख प्रति km.
3 मोठे स्टेशन 40 X 3 = 120 लाख
3 लहान स्टेशन 20 X 3 = 60 लाख
रूळ घालणे = 1600 लाख
10 टक्के अवांतर = 178 लाख
अजून 10 टक्के जोडायला हवे कारण रस्ता फुटपट्टीसारखा सरळ कधीच नसतो, तेव्हा,
एकूण खर्च अंदाजे 1958 + 195.8 = 2153.8 लाख
22 कोटी अंदाजे खर्च गृहीत धरता येईल.

वा चिंट्या, सुरेख, बेस्टच! सर्वांनी त्याचे कौतुक केले.

*********** दुसऱ्या दिवशी

काका दुपारी सर्वांना मॉल मध्ये घेऊन जाणार होते. तिथले खेळ खेळायला देणार होते. संध्याकाळी, एक पिक्चर आणि नंतर रात्रीच्या जेवणाचा बेत एका प्रसिद्ध हॉटेल मधे होता. तिथे त्यांची ओळख काही मुलामुलींशी करून देणार होते... तिसऱ्या दिवशी ती मुलं त्यांना शहरात फिरायला नेणार होती...

त्यामुळे काकांनी सल्ला दिला की सकाळी तुम्हाला दिलेलं काम पूर्ण करा. चिंट्या काही बोलणार एव्हड्यात नेहा म्हणाली, चिंट्याने एक एस्टीमेट केल आहे पण अजून दोन योजना देण्याचा आमचा विचार आहे. ओके अस म्हणून काका कामाला निघून गेले.

काय गरज होती अजून डोक्याला त्रास लावून घ्यायची? चिंट्या घुसफूसला. तुझी योजना उत्कृष्ट आहे चिंट्या, फक्त त्यातल्या एका प्रॅक्टिकल अडचणींवर उपाय आहे का बघायचे आहे. जमलं तर ठीक, नाही तर तुझं सोल्युशन आहेच की, नेहाने समजूत काढली. काय अडचण आहे सांग तरी. तू काढलेला मार्ग बऱ्याच वसती, गाव, शहरं छेदून जातो. त्यामुळे डायवर्झन खूप होतील आणि अंदाजपत्रक चुकू शकेल. रेल्वे पण हळू धावेल. म्हणून थोडा विचार करू इतकंच म्हणने आहे माझे.

रात्री मी, नेहा आणि सायली बरोबर बसलो होतो तेव्हा अंतःस्थ त्रिकोनाच्या ऐवजी वर्तुळाकार केले तर? असा विचार आला होता. पण वर्तुळाचा परीघ कसा काढणार? मी रात्री उशिरा थोडावेळ काम केले आणि मला उत्तर मिळाले आहे.

समद्विभुज त्रिकोनामधे अंतःस्थ वर्तुळ कसे बसवावे?

त्रिकोनाच्या तीनही कोनाचे द्विभाजक जिथे मिळतात, तिथेच वर्तुळाचा मध्य असतो हा सिद्ध प्रमेय आहे. मध्यापासून काटकोनात कुठल्याही भुजे पर्यंतचे अंतर सारखेच असते असाही प्रमेय आपण शिकलो आहे. हेच अंतर अंतःस्थ वर्तुळाचा त्रिज्या!

मी गणित अस केले. आधी 1000 आणि 1200 ला 100 नी स्केल करून आकडे आवाक्यात आणले. त्यामुळे त्रिकोन 10 X 10 X 12 चा झाला. आता सॅमीने चित्र काढले.

प्रथम, या त्रिकोनाच्या उंची किती?

या कोना पासूनच्या रेषेने समोरची 12ची बाजू विभागली जाते हे आपल्याला माहीत आहे. त्यामुळे 10, H आणि 6 असा काटकोन त्रिकोन मिळतो. पायथागोरस प्रमेयने उंची H सहज सापडते 10चा वर्ग वजा 6चा वर्ग! म्हणजे 64 चा वर्गमूळ! उंची H = 8 आहे.

आता पुढे. बेटाचे एकूण क्षेत्रफळ 12 X 8 X 0.5 = 48 (गुणिले 100 km).

वर्तुळाचा मध्य आपण कोनांच्या द्विभाजकाने काढला होत. तेव्हा त्यातून आपल्याला तीन त्रिकोन मिळतात. प्रत्येक त्रिकोनाची उंची वर्तुळाचा त्रिज्या इतकी आहे. तेव्हा तिन्ही त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ काढता येतें. आणि त्याची बेरीज 48 असली पाहिजे! तेव्हा असे समीकरण मिळते,

(0.5 × 10 × R) + (0.5 × 10 × R) + (0.5 × 12 × R) = 48
10R + 6R = 48,
R = 3
(खरतर नकाशावर त्रिज्या मोजणं सोपं आहे पण ते मला नंतर सुचलं – सॅमी!)

परीघ 2 × 3.14 × 3 = 18.84 किंवा 1884 km.
त्रिकोनी रिंग रेलसाठी काढले तसेच,

3 मोठे स्टेशन 40 X 3 = 120 लाख
3 लहान स्टेशन 20 X 3 = 60 लाख
रूळ घालणे = 1884 लाख
10 टक्के अवांतर = 206.4 लाख
अजून 10 टक्के जोडायला हवे कारण रस्ता फुटपट्टीसारखा सरळ कधीच नसतो, तेव्हा,
एकूण खर्च अंदाजे 2270.4 + 227.04 = 2497.44 लाख

25 कोटी अंदाजे खर्च गृहीत धरता येईल.

याच वर्तुळा ऐवजी अष्टकोन घेतला तर काय होईल हा विचार मी आणि नेहाने केला रात्री. कारण अष्टकोन म्हणजे आठ समद्विभुज त्रिकोन! सायली म्हणाली. त्यांच्या कल्चर मधे चांगले बसेल.

अष्टकोनाच्या त्रिज्या पण 3 असेल आणि 8 त्रिकोनांचा मधला कोन 45 असतो. बाजूची लांबी काढण्यासाठी अष्टकोनातल्या एक त्रिकोनाला विभागले की समोरच्या बाजूचे समीकरण मिळते.

Sin(22.5) = AX / R
AX = 0.38 X 3

याचा दुप्पट म्हणजे अष्टकोनाची एक बाजू = 2.28.
100ची स्केल वापरली, म्हणजे बाजू 228 km. परीघ = 1824 km
6 च्या ऐवजी 8 स्टेशन, 4 मोठी आणि 4 लहान केली तर
160 + 80 + 1824 + 206.40 + 227.04 = 2497.44

25 कोटीच्या बजेट मध्ये 4 मोठी आणि चार लहान स्टेशन होतील. दर 228 km ला एक स्टेशन!

चौघांनी बसून आता 3 एस्टीमेट लिहून काढले. रिसेप्शन कडून कागद पेन आणि एनव्हलोप मागून घेतली. एस्टीमेट, गृहीत आणि विचार मांडले. आणि काकासाठी रिपोर्ट तयार ठेवला.

प्रत्येकाला आपण चांगले काम केल्याच्या आनंदाची फिलिंग येत होती... काका येण्याची ते अतुरतेने वाट बघत होते...

************* क्रमशः

**************************
गोष्टीचा पुढचा भाग... लवकरच
**************************

शिक्षणलेख

प्रतिक्रिया

तुमचे लेख बुकमार्क करून ठेवतो दरवेळी

अमर विश्वास's picture

18 Apr 2021 - 9:40 am | अमर विश्वास

ही पूर्ण लेखमाला अत्यंत अभ्यासपूर्ण आहे ... वाचतोय

राजा वळसंगकर's picture

19 Apr 2021 - 4:12 pm | राजा वळसंगकर

साहित्याची लोकप्रियता

हा विषय मनात येतोच. मला मिळालेला प्रतिसाद पाहता असाही विचार - बाल भारतीने गणित पुस्तकातले धडे सोशल मीडियावर एक एक प्रकाशित केले तर लोक प्रियता दर्शवणारे "वाचने" "likes" "hits" दिसतील का? त्यातले गणित सोडवण्याचा प्रयत्न वाचक करतील का? मग लिहायचे कशासाठी? आकडे, बघायला हवे का?

मनोरंजन आणि उपयुक्तता ह्या दोन निकषांशी झगडतोय. उद्दिष्ट पण अडचणीचे ठरतंय - गणिताच्या गोडीसाठी लिहावे का शिकवण्यासाठी लिहावं? का सरळ सरळ लोकप्रियतेसाठी लिहावं? (माझे काही क्षीण प्रयोग दिसलेच असतील!)

प्रायोगिक लिखाण वाटेवर जाताना ठेचकळायला, अडखळायला होणार, कधी कधी वाट बदलावी लागणार - तेव्हा तुमच्यासारख्या प्रतीक्रिया प्रेमाचा आणि प्रोत्साहनाचा आधार देतात, विचार सांगून दिशा दाखवतात, आणि म्हणूनच -

"तुमचे लेख बुकमार्क करून ठेवतो दरवेळी" "ही पूर्ण लेखमाला अत्यंत अभ्यासपूर्ण आहे ... वाचतोय"
सुखीजी, अमर विश्वासजी, मनापासून धन्यवाद.

अमर विश्वास's picture

19 Apr 2021 - 5:01 pm | अमर विश्वास

राजा साहेब

संकेस्थळावरची लोकप्रियता हा खूप फसवा प्रकार आहे. इथे मिपा वर पहिले तर सर्वात जास्त प्रतिसाद चालू घडामोडी या धाग्यावर असतात. याचा अर्थ असा नाही सर्वानी फक्त चालू घडामोडी वर बोलावे.

आता गणिताबद्दल म्हणाल तर इथले बहुतेक वाचक हे गणिताचा बरा वाईट अनुभव घेऊन इथपर्यंत आले आहेत आणि आता बहुतेकांचा सध्या गणिताशी संबंध हा कॅल्क्युलेटर घेऊन हिशोब करण्यापुरताच आहे. त्यामुळे गणितासारख्या विषयाची मजा घेणारे अशा संकेत स्थळावर कमीच आढळतील. त्यामुळे फार मनावर घेऊ नये.
उद्या मी जर हिट ट्रान्सफर किंवा अगदी सॉफ्टवेअर डिसाइन वर लेखमाला लिहिली तर किती लोकांना इंटरेस्ट असेल ?

त्यामुळे सर्वसामान्य (generic ) विषयांना जास्त प्रतिसाद आणि विशिष्ट (Specific / Niche) विषयांना मोजके प्रतिसाद हे चालायचेच.

आणि जर उपयुक्ततेविषयी म्हणाल तर माझ्या डोक्यात स्टोरीटेलिंग चे महत्व पुन्हा अधोरेखित झाले. शाळा कॉलेज च्या मुलांना शिकवताना याचा अधिक उपयोग करीन

आपण लिहीत लिहावे ...