हे फारच मोठे उत्तर आहे. दोन कंसांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात याचे साधे उत्तर असे आहे.
a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c + sqrt { 2 * [ab + bc + ca] } ) * (a + b + c - sqrt { 2 * [ab + bc + ca] } )
इथे एक महत्त्वाची अट आहे. ती म्हणजे ab + bc + ca must be >= 0. अन्यथा वर्गमुळाच्या आत ऋण संख्या आल्याने उत्तर गुंतागुंतीच्या (किंवा काल्पनिक) अंकाच्या स्वरूपात येईल.
a^2 + b^2 चे उत्तर होते ( a + b + sqrt(2ab) )( a + b - sqrt(2ab) )
a^2 + b^2 + c^2 चे उत्तर आहे (a + b + c + sqrt { 2 * [ab + bc + ca] } ) * (a + b + c - sqrt { 2 * [ab + bc + ca] } )
त्यामुळे एकूण N अंकांच्या वर्गांच्या बेरजेचे अवयव म्हणजेच a1^2 + a2^2 +a3^2 + ...... + aN^2 चे अवयव असे असतील.
जर s = a² + b² + c² हे एक वन बाय वन म्याट्रिक्स धरलं तर त्याचे अवयव खालीलप्रमाणे पाडता येतील :
त्याऐवजी a, b आणि c हे एका ३-degree polynomial ची ३ roots आहेत असे गृहीत धरले तर, polynomial च्या नियम व सूत्रांनुसार,
सिग्मा-१ = a + b + c
सिग्मा-2 = ab + bc + ca
आणि S2 म्हणजेच roots च्या वर्गांची बेरीज = a² + b² + c² = (सिग्मा-१)^२ - (२ * सिग्मा-2)
म्हणून S2 = (सिग्मा-१ + sqrt (२ * सिग्मा-2)) * (सिग्मा-१ - sqrt (२ * सिग्मा-2)) असे S2 चे अवयव पडतात. या समीकरणात सिग्मा-१ व सिग्मा-२ च्या जागी वरील किंमती टाकल्यास खालील अंतिम उत्तर मिळते.
S2 = a² + b² + c² = (सिग्मा-१)^२ - (२ * सिग्मा-2) = (सिग्मा-१ + sqrt (२ * सिग्मा-2)) * (सिग्मा-१ - sqrt (२ * सिग्मा-2)) = ((a + b + c) + sqrt (२ * ab + bc + ca)) * ((a + b + c) - sqrt (२ * ab + bc + ca))
polynomial मधील वर दिलेले S2 चे सूत्र वापरून कितीही अंकांच्या वर्गांच्या बेरजेचे दोन कंसांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात अवयव पाडता येतात.
याचे दुसरे उत्तर पूर्वी दिलेल्या ३ संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेच्या समीकरणाच्या अवयवानुसार काढता येते कारण वरील संख्या ३ संख्यांच्या वर्गांच्या स्वरूपात अशी लिहिता येते = a4 + b4 + a2b2 = (a^2)^2 + (b^2)^2 + (a*b)^2
Therefore, S = a^4 + (a^2)*(b^2) + b^4 (by rearranging 2nd and 3rd term)
There are 3 terms in S which are a^4, (a^2)*(b^2), b^4 in order.
These 3 consecutive terms form a G.P. (Geometric Prgression) because,
the ratio of 2nd term to 1st term = the ratio of 3rd term to 2nd term
2nd term/1st term = (a^2)*(b^2)/(a^4) = (b^2/a^2) and
3rd term/2nd term = b^4/{(a^2)*(b^2)} = (b^2/a^2)
Therefore 2nd term/1st term = 3rd term/2nd term and therefore these 3 terms form a G.P.,
having First Term = a^4 and Common Ratio (C.R.) = (b^2/a^2)
म्हणून G.P. तील ३ टर्म्सच्या बेरजेचे सूत्र वापरून,
S = (first Term) * ((C.R.)^n - 1)/(C.R. - 1) where n = 3 = total no. of terms in the G.P.
जीवशास्त्र आणि आमचे विळ्याभोपळ्याचे संबंध होते. त्यामानाने गणितात तरून जायचो. कितीही प्रयत्न केला तर प्राणीशास्त्र आणि वनस्पतीशास्त्र विषयात कधीही दोन अंकी गुण मिळविता आले नाहीत. त्यामुळे पहिली संधी मिळताच या अहीमहींना रामराम ठोकला.
प्रतिक्रिया
10 Jan 2016 - 1:45 pm | राजेश घासकडवी
(a + ib) (a - ib)
10 Jan 2016 - 1:54 pm | जव्हेरगंज
राजेशजी तुमचा प्रयत्न आवडला, त्याने ऊत्तरही बरोबर येऊ शकते.
पण कॉम्लेक्स i, न वापरता पण उत्तर येऊ शकते :)
10 Jan 2016 - 2:31 pm | गामा पैलवान
( a + b + sqrt(2ab) )( a + b - sqrt(2ab) )
10 Jan 2016 - 2:35 pm | जव्हेरगंज
हैला,
लगेच सोडवलतं
तसं म्हटलं तर राजेशजी आणि तुमचं दोघांचही उत्तर बरोबरच आहे.
:)
10 Jan 2016 - 8:32 pm | श्रीगुरुजी
परफेक्ट उत्तर!
10 Jan 2016 - 3:14 pm | लॉरी टांगटूंगकर
a^2+b^2=(a+b)^2 -2ab
10 Jan 2016 - 3:33 pm | जव्हेरगंज
दोन कंसामधला गुणाकार हवा आहे. factorization म्हणतात बहुदा त्याला.
तेव्हा तुमचे उत्तर बाद.
10 Jan 2016 - 3:58 pm | विवेक ठाकूर
नको तो आकडा वजा करणं झालं !
11 Jan 2016 - 7:41 pm | जव्हेरगंज
a^2+b^2=(a+b)^2 -2ab
खरंतर यावरुनच पुढचं उत्तर काढता येतं!
a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab
= (a+b)^2 - (sqrt(2ab))^2
= (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))
:)
11 Jan 2016 - 8:03 pm | श्रीगुरुजी
+१
10 Jan 2016 - 3:39 pm | कैलासवासी सोन्याबापु
इतके गणित येता शिपाई कश्याला होतो! चालू दे आम्ही प्वापकोर्ण घेऊन बसलो हाय
10 Jan 2016 - 10:01 pm | संदीप डांगे
काही हां बापुसायेब, गणितज्ञापेक्षा शिपायास्नी जास्त चांगलं गणित यायले पायजे, जीवावरचं काम है ते असं आमाले वाट्टे बॉ...
11 Jan 2016 - 10:45 am | मुक्त विहारि
उलट आहे....
आपल्यासारखे शिपाई आहेत, म्हणुनच भारतातील गणितज्ञांचे डोके सलामत आहे....
अर्थ (व्यापार), उत्तम विचारसरणी, रक्षक आणि मन लावून काम करणारे कामगार, ह्या चारही अंगांनी देश बलवान होतो.
कुणीही एकमेकांशिवाय कमी नसतो.ह्यातले एखादे अंग जरी कमकुवत असेल तरी देश रसातळाला जातो.
11 Jan 2016 - 11:13 am | मुक्त विहारि
उलट आहे....
आपल्यासारखे शिपाई आहेत, म्हणुनच भारतातील गणितज्ञांचे डोके सलामत आहे....
अर्थ (व्यापार), उत्तम विचारसरणी, रक्षक आणि मन लावून काम करणारे कामगार, ह्या चारही अंगांनी देश बलवान होतो.
कुणीही एकमेकांशिवाय कमी नसतो.ह्यातले एखादे अंग जरी कमकुवत असेल तरी देश रसातळाला जातो.
11 Jan 2016 - 6:56 pm | गामा पैलवान
मुक्त विहारि,
शेवटल्या वाक्याशी शंभर टक्के सहमत !
तसंही पाहता प्रत्येकजण काहीनाकाही गणितं करंत असतोच. माझ्यासारखी लोकं फक्त ती अंकांमध्ये मांडतात. इतकंच. :-)
आ.न.,
-गा.पै.
16 Jan 2016 - 12:59 pm | श्रीगुरुजी
सुधारीत कोडे -
a^2 + b^2 + c^2 चे अवयव पाडा.
16 Jan 2016 - 5:08 pm | जव्हेरगंज
वरचीच पद्धत अवलंबून....
a^2 + b^2 + c^2=
=(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))+c^2
=[sqrt[ (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))]]^2+c^2
= [(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))+c+sqrt{ (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))c}] [(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))+c-sqrt{ (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))c}]
हे आमचे साधेसोपे उत्तर!
:)
16 Jan 2016 - 5:11 pm | जव्हेरगंज
वरचीच पद्धत अवलंबून....
a^2 + b^2 + c^2=
=(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))+c^2
=[sqrt[ (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))]]^2+c^2
= [(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))+c+sqrt{2 (a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))c}] [(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))+c-sqrt{ 2(a+b+sqrt(2ab))(a+b-sqrt(2ab))c}]
हे आमचे साधेसोपे उत्तर!
:)
17 Jan 2016 - 8:40 pm | श्रीगुरुजी
हे फारच मोठे उत्तर आहे. दोन कंसांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात याचे साधे उत्तर असे आहे.
a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c + sqrt { 2 * [ab + bc + ca] } ) * (a + b + c - sqrt { 2 * [ab + bc + ca] } )
इथे एक महत्त्वाची अट आहे. ती म्हणजे ab + bc + ca must be >= 0. अन्यथा वर्गमुळाच्या आत ऋण संख्या आल्याने उत्तर गुंतागुंतीच्या (किंवा काल्पनिक) अंकाच्या स्वरूपात येईल.
a^2 + b^2 चे उत्तर होते ( a + b + sqrt(2ab) )( a + b - sqrt(2ab) )
a^2 + b^2 + c^2 चे उत्तर आहे (a + b + c + sqrt { 2 * [ab + bc + ca] } ) * (a + b + c - sqrt { 2 * [ab + bc + ca] } )
त्यामुळे एकूण N अंकांच्या वर्गांच्या बेरजेचे अवयव म्हणजेच a1^2 + a2^2 +a3^2 + ...... + aN^2 चे अवयव असे असतील.
(a1 + a2 + a3 + .... + aN + + sqrt { 2 * [(a1a2 + a1a3 + ... + a1aN) + (a2a3 + a2a4 + ... + a2aN) + (a3a4 + a3a5 + ... + a3aN) + ..... + (aN-2aN-1 + aN-2aN) + (aN-1aN)] } ) * (a1 a2 + a3 + .... + aN + + sqrt { 2 * [(a1a2 + a1a3 + ... + a1aN) + (a2a3 + a2a4 + ... + a2aN) + (a3a4 + a3a5 + ... + a3aN) + ..... + (aN-2aN-1 + aN-2aN) + (aN-1aN)] } )
where a1a2 + a1a3 + ... + a1aN) + (a2a3 + a2a4 + ... + a2aN) + (a3a4 + a3a5 + ... + a3aN) + ..... + (aN-2aN-1 + aN-2aN) + (aN-1aN) must be >= 0.
17 Jan 2016 - 8:43 pm | श्रीगुरुजी
शेवटच्या उतरात चुकून '-' ऐवजी '+' पडलेला आहे. योग्य उत्तर असे हवे.
(a1 + a2 + a3 + .... + aN + + sqrt { 2 * [(a1a2 + a1a3 + ... + a1aN) + (a2a3 + a2a4 + ... + a2aN) + (a3a4 + a3a5 + ... + a3aN) + ..... + (aN-2aN-1 + aN-2aN) + (aN-1aN)] } ) * (a1 a2 + a3 + .... + aN - sqrt { 2 * [(a1a2 + a1a3 + ... + a1aN) + (a2a3 + a2a4 + ... + a2aN) + (a3a4 + a3a5 + ... + a3aN) + ..... + (aN-2aN-1 + aN-2aN) + (aN-1aN)] } )
17 Jan 2016 - 9:18 pm | जव्हेरगंज
मस्त हो गुरुजी!
इंटरेस्टींग माहीती मिळाली!
वही पेन घेऊन सोडवले असते तर कदाचित मलाही जमले असते ;-)
18 Jan 2016 - 1:25 am | गामा पैलवान
जबरदस्त हो श्रीगुरुजी. हे लक्षातच नाही आलं! :-)
आ.न.,
-गा.पै.
16 Jan 2016 - 2:59 pm | तुषार काळभोर
दहावीचा 'ड' गट समोर नाचायला लागला!
16 Jan 2016 - 8:28 pm | चांदणे संदीप
थयाथया!
Sandy
17 Jan 2016 - 5:41 am | गामा पैलवान
श्रीगुरुजी,
जर s = a² + b² + c² हे एक वन बाय वन म्याट्रिक्स धरलं तर त्याचे अवयव खालीलप्रमाणे पाडता येतील :
[ s ] = [X]·[X']
where [ X ] = [ a b c ]
[X] हा त्रिमितीय बाण अर्थात 3D row vector आहे.
[X'] साहजिकंच त्रिमितीय स्तंभ म्हणजे 3D column vector होतो.
आ.न.,
-गा.पै.
18 Jan 2016 - 10:38 am | sagarpdy
आवडेश!
18 Jan 2016 - 2:16 pm | श्रीगुरुजी
त्याऐवजी a, b आणि c हे एका ३-degree polynomial ची ३ roots आहेत असे गृहीत धरले तर, polynomial च्या नियम व सूत्रांनुसार,
सिग्मा-१ = a + b + c
सिग्मा-2 = ab + bc + ca
आणि S2 म्हणजेच roots च्या वर्गांची बेरीज = a² + b² + c² = (सिग्मा-१)^२ - (२ * सिग्मा-2)
म्हणून S2 = (सिग्मा-१ + sqrt (२ * सिग्मा-2)) * (सिग्मा-१ - sqrt (२ * सिग्मा-2)) असे S2 चे अवयव पडतात. या समीकरणात सिग्मा-१ व सिग्मा-२ च्या जागी वरील किंमती टाकल्यास खालील अंतिम उत्तर मिळते.
S2 = a² + b² + c² = (सिग्मा-१)^२ - (२ * सिग्मा-2) = (सिग्मा-१ + sqrt (२ * सिग्मा-2)) * (सिग्मा-१ - sqrt (२ * सिग्मा-2)) = ((a + b + c) + sqrt (२ * ab + bc + ca)) * ((a + b + c) - sqrt (२ * ab + bc + ca))
polynomial मधील वर दिलेले S2 चे सूत्र वापरून कितीही अंकांच्या वर्गांच्या बेरजेचे दोन कंसांच्या गुणाकाराच्या स्वरूपात अवयव पाडता येतात.
18 Jan 2016 - 7:05 pm | गामा पैलवान
ह्यो बी खराच !
-गा.पै.
17 Jan 2016 - 6:03 am | अत्रुप्त आत्मा
बाप रे!!!
किती तो किस पाडलाय?
17 Jan 2016 - 3:31 pm | गामा पैलवान
आत्मूगुरुजी, काय करणार आता ! श्रीगुरुजी तुमच्यासारखेच गुरुजी पडले. कशाचेही अवयव काढायला लावतात. (या वाक्यावर फार वेळ विचार करू नये! ;-))
मग आम्हाला कीस पाडावा लागतो आणि त्या किसाच्या गोळ्या फ्याक्टर म्हणून सादर करायच्या. एक प्रकारचे शास्त्राधार शोधणेच म्हणा ना याला !
आ.न.,
-गा.पै.
18 Jan 2016 - 10:47 am | Savnil
राव समध टाककुर्यावरण जातै
18 Jan 2016 - 10:55 am | Savnil
राव समध टाककुर्यावरण जातै
18 Jan 2016 - 10:56 am | Savnil
राव समध टाककुर्यावरण जातै
18 Jan 2016 - 10:57 am | Savnil
राव समध टाककुर्यावरण जातै
18 Jan 2016 - 10:59 am | Savnil
राव समध टाककुर्यावरण जातै
18 Jan 2016 - 11:00 am | Savnil
राव समध टाककुर्यावरण जातै
18 Jan 2016 - 11:01 am | Savnil
राव समध टाककुर्यावरण जातै
18 Jan 2016 - 11:03 am | Savnil
राव समध टाककुर्यावरण जातै
18 Jan 2016 - 11:15 am | असंका
इतक्या वेळा डोक्यावरून जातंय त्यावरून हे आठवलं
क्षणोक्षणी पडे उठे परी बळे...
23 Jan 2016 - 8:09 pm | गामा पैलवान
शाळेत असतांना याचे अवयव पाडायला होते आम्हाला : a4 + b4 + a2b2
-गा.पै.
24 Jan 2016 - 9:11 pm | श्रीगुरुजी
याचे एक उत्तर असे आहे.
a4 + b4 + a2b2
= (a^2)^2 + (b^2)^2 + 2*a^2b^2 - (a*b)^2
= (a^2 + b^2)^2 - (a*b)^2
= (a^2 + b^2 - a*b) * (a^2 + b^2 + a*b)
= (a^2 + b^2 - 2*a*b + a*b) * (a^2 + b^2 + 2*a*b - a*b)
= ((a - b)^2 + a*b)) * ((a + b)^2 - a*b)
याचे दुसरे उत्तर पूर्वी दिलेल्या ३ संख्यांच्या वर्गांच्या बेरजेच्या समीकरणाच्या अवयवानुसार काढता येते कारण वरील संख्या ३ संख्यांच्या वर्गांच्या स्वरूपात अशी लिहिता येते = a4 + b4 + a2b2 = (a^2)^2 + (b^2)^2 + (a*b)^2
म्हणून,
(a^2)^2 + (b^2)^2 + (a*b)^2
= (a^2 + b^2 + a*b + sqrt { 2 * [a^2*b^2 + a*b^3 + a^3*b] } ) * (a + b + c - sqrt { 2 * [a^2*b^2 + a*b^3 + a^3*b] } )
24 Jan 2016 - 9:23 pm | जव्हेरगंज
वाहवा!
मजा आली!!
दोन्ही उत्तरे आवडली!!!!
25 Jan 2016 - 3:07 am | गामा पैलवान
अगदी हेच म्हणतो.
आमच्या वेळेस हे उत्तर होतं : (a2+ab+b2)*(a2-ab+b2)
-गा.पै.
25 Jan 2016 - 9:38 am | जव्हेरगंज
हैला, हा तर षटकारच आहे!
मस्तच!!
25 Jan 2016 - 8:49 pm | श्रीगुरुजी
हेच उत्तर अजून एका पद्धतीने काढता येते.
Let S = a^4 + b^4 + (a^2)*(b^2)
Therefore, S = a^4 + (a^2)*(b^2) + b^4 (by rearranging 2nd and 3rd term)
There are 3 terms in S which are a^4, (a^2)*(b^2), b^4 in order.
These 3 consecutive terms form a G.P. (Geometric Prgression) because,
the ratio of 2nd term to 1st term = the ratio of 3rd term to 2nd term
2nd term/1st term = (a^2)*(b^2)/(a^4) = (b^2/a^2) and
3rd term/2nd term = b^4/{(a^2)*(b^2)} = (b^2/a^2)
Therefore 2nd term/1st term = 3rd term/2nd term and therefore these 3 terms form a G.P.,
having First Term = a^4 and Common Ratio (C.R.) = (b^2/a^2)
म्हणून G.P. तील ३ टर्म्सच्या बेरजेचे सूत्र वापरून,
S = (first Term) * ((C.R.)^n - 1)/(C.R. - 1) where n = 3 = total no. of terms in the G.P.
Therefore,
S = (a^4) * {(b^2/a^2)^3 - 1} / {(b^2/a^2) - 1}
S = (a^4) * {(b^6 - a^6)/(a^6)} / {(b^2 - a^2)/(a^2)}
क्रॉस प्रॉडक्ट घेऊन व सुलभीकरण करून,
S = {(b^3 + a^3) * (b^3 - a^3)} / {(b + a) * (b - a)}
अंशाचे अवयव पाडून,
S = [{(b + a) * (b^2 + a^2 - a*b)} * {(b - a) * (b^2 + a^2 + a*b)}] / {(b + a) * (b - a)}
Therefore finally,
S = (b^2 + a^2 - a*b)} * (b^2 + a^2 + a*b)
26 Jan 2016 - 4:22 am | गामा पैलवान
हे असं कसं सुचू शकतं कोणाला! जीपी पार विसरून गेलो होतो.
-गा.पै.
24 Jan 2016 - 9:27 pm | श्रीगुरुजी
शेवटच्या ओळीत एक चोप्यपस्ते चूक आहे. बरोबर उत्तर असे हवे.
(a^2)^2 + (b^2)^2 + (a*b)^2
= (a^2 + b^2 + a*b + sqrt { 2 * [a^2*b^2 + a*b^3 + a^3*b] } ) * (a + b + a*b - sqrt { 2 * [a^2*b^2 + a*b^3 + a^3*b] } )
25 Jan 2016 - 9:49 am | किचेन
हे शालेत शिकवल होत!इ. ८ वि .
25 Jan 2016 - 9:50 pm | बाबा पाटील
वैद्यकिय क्षेत्र निवडले
26 Jan 2016 - 1:05 pm | श्रीगुरुजी
जीवशास्त्र आणि आमचे विळ्याभोपळ्याचे संबंध होते. त्यामानाने गणितात तरून जायचो. कितीही प्रयत्न केला तर प्राणीशास्त्र आणि वनस्पतीशास्त्र विषयात कधीही दोन अंकी गुण मिळविता आले नाहीत. त्यामुळे पहिली संधी मिळताच या अहीमहींना रामराम ठोकला.
26 Jan 2016 - 1:42 pm | गामा पैलवान
अगदी असंच म्हणतो. जीव(द्या)शास्त्र होते ते.
-गा.पै.
26 Jan 2016 - 2:37 pm | कंजूस
गणित विषय घेतलेल्यांनी हे केलेलंच आहे.परंतू इतरांच्या डोक्यावरून जाणार.