वेग आणि विस्थापन – एकाच नाण्याच्या दोन बाजू (Relation between Velocity and Displacement)

Primary tabs

अनिकेत कवठेकर's picture
अनिकेत कवठेकर in तंत्रजगत
15 Jul 2017 - 3:40 pm

राजा विक्रम जसा वेताळाच्या भेटीसाठी निघत असे तस तस त्याला त्याचं विकट हास्य आठवून थरकाप होई पण त्यापेक्षा जास्त त्याचे प्रश्न ऐकून तो विचारात पडे. त्याप्रश्नांचा विचार करता करता वेताळाचं थरकाप उडवणारं रूप विसरायला होई. कधी कधी हा वेताळच आहे का पूर्व जन्मी शास्त्रज्ञ असलेल्या माणसाचं भूत आहे असेही विचार चमकून जात.

“राजा फार विचार करतोस माझ्या पूर्वजन्माचा. तेवढा विचार माझ्या या प्रश्नाचा कर. एक माणूस एका दगडाला लाथ मारतो. दगडाला स्वत:ची बुद्धी नाही. तो पडून होता. लाथ मारली तेव्हा तो फरफटत गेला. मग या साध्या गोष्टीत तुम्ही विस्थापन, वेग, बल वगैरे भुतं का काढली? आणि त्यांना ओळखून काय मिळतं? ज्या वेगाबद्दल तू बोलतोस तो काय एकच असतो? ते भूतही दरक्षणाला वेगवेगळा आकार धारण करतं”

“वेताळा मान्य आहे, या साध्या गोष्टी आहेत, पण माणसांमधल्याच काही विचारी शास्त्रज्ञांनी यांना दिव्य दृष्टीनं पाहिलं आणि त्याहीपेक्षा वेगवेगळ्या कल्पनेच्या करामती करून त्यांना मोजण्याच्या व त्यांना समजून घेण्याच्या युक्त्या काढल्या. तू म्हणतोस ते बरोबर आहे. वेगाचं मोजमाप ही एक मजेशीरच गोष्ट आहे. प्रत्येक क्षणाला तो गोळा किती अंतर जातो हे कसं बघणार तेवढी दृष्टी कोणाला आहे? त्या गोळ्यावर बसून त्याचा वेग कोण मोजणार? पण जिथे जिथे माणूस जाऊ नाही तिथे तिथे माणसाची बुद्धी मात्र गेली. म्हणून काय केलं की एकूण अंतर मोजलं (s) व प्रवासासाठी लागलेला एकूण काळ (t) मोजला. अंतराला काळाने भागलं तर मिळाली चाल (speed). अदीश तर मिळाली.”

“अरे कळलं रे..किती वेळा तेच ते सांगशील? मुद्द्याचं बोल..हे सदीश भूत आणि ही मोजमापं कशी केली?”

“ तेच सांगतोय..हा वेग बदल मोजायला लिबनिझ नावाच्या अंतर्ज्ञानी शास्त्रज्ञाने एक कल-विकल (Derivative-Integration) पद्धत शोधून काढली.”

“कल(derivative) पद्धत म्हणजे?”

“अरे वेताळा चंद्राचं तू पाहतोस. अमावस्येला काहीच नसतो, पौर्णिमेला पूर्ण असतो. मधले दिवस कलाकलांनी वाढत जातो. अमावस्या आणि पौर्णिमा या केवळ काळ पुढे सरकत असल्यामुळे आपणाला दिसणाऱ्या गोष्टी. पण चंद्र तोच असतो. हेच उदाहरण आपण आपल्या बाबतीत बोलायचं झाल्यास वस्तू जागची हलू लागली की तिला काळामुळे व तिच्या हालचालीमुळे विस्थापन येउन चिकटते. वर आपण जशी चंद्रकला बघितली तशी काही शास्त्रज्ञांनी एका आयताची कल्पना केली, केवळ मोजण्याच्या सोयीसाठी. त्या आयताच्या बाजू म्हणजे काळ (t) आणि वेग (v). याला कारण म्हणजे अंतर = चाल / काळ हे आपल्याला पक्कं माहित आहे. शिवाय आयताचे क्षेत्रफळ (Area of rectangle) = लांबी (length) x रुंदी (breadth) हे ही सिद्ध झालेलं आहे. मग या दोन गोष्टींची सांगड घातली तर काय मिळतं?” (आकृती १)

“अच्छा म्हणजे आयताची लांबी(l) म्हणजे काळ(t), रुंदी(b) म्हणजे वेग (v). वेगाला काळाने गुणले म्हणजे आले विस्थापन (s). म्हणजे विस्थापन हे त्या आयताचे क्षेत्रफळ.

वेग (आयताची लांबी) x वेळ(आयताची रुंदी) = विस्थापन(आयताचे क्षेत्रफळ)

राजा मला आयतंच उल्लूक बनवतोयस. यातून काय सिद्ध झालं?”

“अरे वेताळा, असं बंघ. वस्तू जागची हाललीच नाही तर विस्थापन नाही(s=0), म्हणजे वेग (v=0). त्या वस्तूला जोरात ढकललं तर लवलेल्या बळाचा परिणाम म्हणून ती वस्तू पुढे पुढे जात राहील. आता तिच्या प्रवासाचं वर्णन दोन प्रकारांनी करता येईल
तिच्यावर बलप्रयोग(F) केल्यानं तिला वेग(v) प्राप्त झाला व म्हणून ती मोजमापासाठी ठरवलेल्या काळात (t)बळाच्या दिशेने काही अंतर(s) गेली. याचं मोजमाप करण्यासाठी सुरुवातीला सरासरी वेग काढू.

सरासरी वेग(V) = कापलेले अंतर(s) / लागलेला काळ (t). यावरून एक कल्पित आयत काढू. या कल्पित आयताच्या बाजू काळ आणि वेग. समजण्याच्या सोयीसाठी ती वस्तू एकसमान वेगाने जात आहे असे समजू. आता याच आयताचे अनेक लहान लहान एकसमान उभे तुकडे करूया. आता त्या लहान तुकड्यांसाची रुंदीची बाजू म्हणजे काळाचा भाग एक सेकंद समजूया. म्हणजे दरक्षणाला हा आयत कापला तर प्रत्येक क्षणाचा वेग हा एकसमान म्हणजे V इतकाच आहे. याचाच अर्थ विस्थापन आणि वेग यांच्यात काहीतरी प्रमाण आहे हे निश्चित.

आता बदलणाऱ्या वेगासाठी तिच्या प्रवासाचं वर्णन दुसऱ्या पद्धतीने करु. वरच्या लहान लहान आयतांच्या वरून असे समजू की
दरक्षणाचा वेग (Δv) = त्याक्षणाला झालेले विस्थापन (Δs) / तो क्षण (Δt). आता मी असं ठरवलं की दरसेकंदाचा वेग पहायचा. म्हणजे t हा मी एकसमान केला तर मला हे लक्षात येतं की वेग हा विस्थापनाच्या प्रमाणात किंवा विस्थापन हे वेगाच्या प्रमाणातबदलत राहतात. यांचा एक दरसेकंदाचा माग काढू. (आकृती २)

या वरून असं लक्षात येतं की दर सेकंदाला असलेले विस्थापन आणि वेग सारखेच. म्हणजेच विस्थापनाचे दरसेकंदाचे कल (Differential) हे त्या वेळचा वेग होय.
Dv = ds / dt
याच सारणीवरून असंही लक्षात येतंय की सर्व क्षणिक वेगांची बेरीज करत गेलं की त्या पूर्ण प्रवासात कापलेले अंतरही मिळतंय. (आकृती ३)

आयतांच्या क्षेत्रफळांच्या भाषेत बोलायचं तर
वस्तूने कापलेले एकूण अंतर = v1xt1+v2xt2+…+v10xt10
दर सेकंदाचा कालावधी सारखाच धरला t(t1=t2=t10) तर
अंतर = (v1+v2+…+v10)xt
म्हणजेच वेगबदलांची बेरिज केली व त्याला प्रमाण काळाने गुणले तर मिळते ते विस्थापन.
या उलट अंतराचे क्षणाक्षणाला मोजमाप केले तर काय मिळते ?
वस्तूने t1 मध्ये d1, t2 मध्ये d2, t3 मध्ये d3..t10 मध्ये d10 अशी विस्थापने केली तर क्षणिक वेग काय झाले?
क्षणिकवेग d1/t1, d2/t2, d3/t3…d10/t10 असे झाले. यात t1, t2, t3..t10 हे एक सेकंद मानले तर क्षणिक वेग हा त्या सेकंदाच्या विस्थापना इतकाच निघाला. म्हणजे वेगाची उत्त्पत्त्ती ही केवळ विस्थापनामुळे किंवा स्थान बदलामुळे झाली हे कळले. जर विस्थापनच झाले नसते तर d=0 झाल्याने वेग सुद्धा v=d\t या न्यायाने v=0 झाला असता. म्हणूनच विस्थापन आणि वेग यांच्यातलं परस्पर अवलंबित्व सिद्ध करण्यासाठीच कल(Differentiation) आणि विकला(Integration)चा उपयोग केला गेला. ”
S (विस्थापन) = प्रवासाच्या पूर्ण कालावधीतील प्रत्येक सूक्ष्मकाळात असणाऱ्या तात्कालिक वेगांचे एकत्रीकरण (Integration)
सूक्ष्म काळातला V (वेग) = प्रत्येक सूक्ष्मकाळात असणाऱ्या (Differential) विस्थापनाचे कालाशी असणारे गुणोत्तर”
“अरे राजा किती रे हा शब्दपसारा. पण तू वेगातल्या बदलाबद्दल काहीच बोलला नाहीस? तुम्हाला त्याचं मोजमाप करणं अजून सुचलेले दिसत नाही. पण माझी वेळ झाली व मी निघालो..पुन्हा भेटू..तू अजूनही सुटला नाहीयेस हाऽहाऽऽहाऽऽऽ”

(क्रमश:)

© अनिकेत कवठेकर

प्रतिक्रिया

अमितदादा's picture

16 Jul 2017 - 1:12 am | अमितदादा

लेख छान आहे. परंतु एक सुधारणा सुचवतो.

Integration म्हणजे summation, परंतु differentiation चा अर्थ विभाजन (division) म्हणून घेता येणार नाही. Differentiation म्हणजे rate of change. त्यामुळे तुम्ही दिलेली आकृती १ ची उजवी बाजू चुकीची आहे. उजवी बाजू सुद्धा विस्थापन (s) च आहे , आणि जे तुम्ही छोटे छोटे भाग विभाजन करून दाखवलेत ते आहेत delta_s (सुक्ष्म विस्थापन), तो वेग नाही.

ती आकृती अश्या पद्धतीने समजावून घेता येईल
s (आकृतीची डावी बाजू)= delta_s१+ delta_s२+delta_s३+delta_s४+........ delta_sn (आकृतीची उजवी बाजू )
s = v*delta _t१++........ v *delta_ tn
s = Integration (v *dt )

velocity is differentiation of displacement, it doesn't mean it is a division or part of a displacement.
तुम्ही एखादा curve two dimensional space मध्ये काढला तर integration त्या curve च्या खालचा area देईल तर derivative त्या curve चा slope देईल. (हि माहिती वाचकांसाठी आहे, तुम्हाला हे माहीतच आहे याची मला कल्पना आहे)

तसेच सदिश आणि आदिश राशी मधला फरक एखाद उदाहरण घेऊन राज्याच्या तोंडी घालू शकता. उदारणार्थ एखादा ओंडखा O या ठिकाणावरून A या ठिकाणी जाऊन परत O या ठिकाणी आल्यास distance असेल २*OA , मात्र displacement असेल शून्य.

अर्थात तुम्ही दिलेली उदाहरणे माझ्या पेक्षा सरस आहेत आणि समजण्यास अधिक सोपी आहेत, मी फक्त एक कल्पना मांडली.

अनिकेत कवठेकर's picture

16 Jul 2017 - 10:30 am | अनिकेत कवठेकर

दादा, प्रतिक्रियेबद्दल आभार..शिवाय मला हेही लक्षात आलं की कल-विकल(differential - integral calculus ) हा विषय एका लेखाच्या आवाक्यात बसवताना ही कथा जरा जड झालीय. त्या संकल्पना खलवून सांगण्यासाठी वेगळ्या कथा लिहिणे आवश्यक वाटले. तसा प्रयत्नही होईलच.

चौकटराजा's picture

16 Jul 2017 - 7:14 am | चौकटराजा

हे काहीतरी क्यालक्युलस सारखं दिसतंय ... पण हे सामान्य विद्यार्थ्याला शिकवून फायदा काय ?

अनिकेत कवठेकर's picture

16 Jul 2017 - 10:41 am | अनिकेत कवठेकर

प्रतिक्रियेबद्दल आभार. Calculus ही संकल्पना ही मनवी बुद्धीचा अचाट प्रयोग आहे. आणि त्याचा उपयोग करून वेग, त्चरण यांचे मोजमाप करणे हा कल्पना शक्तीचा कहर आहे. त्यावर आधरित यंत्रांचा उपयोग आपण दैनंदिन जीवनात अजाणतेपणी खूप करतो. पण ही संकल्पना मात्र परग्रहावरची असल्यासारखी समजली जाते.
मान्य आहे या लेखात थोडी क्लिष्टता आहे, कारण याची background आधी आलेली नाही. पण त्यासंदर्भासहीत वाचल्यास विद्यार्थ्यांचे कुतुहल थोडेसे चाळवले जावे आणि ही calculus ची संकल्पना थोडी माणसाळाची एवढाच माफक उद्देश. विद्यार्थ्यांना त्याविषयी कुतुहल निर्माण झाल्यास आणि त्याविषयी आवड वाटल्यास ते एक मोठेच यश असेल.

अमितदादा's picture

16 Jul 2017 - 12:06 pm | अमितदादा

@अनिकेत कवठेकर
किचकट संकल्पना सोप्या भाषेत समजून सांगण्याच्या तुमच्या चिकाटीला सलाम.

@चौकटराजा
तुमच्या प्रश्नाला मी माझ्या परीने थोडक्यात उत्तर देतो

मुळात engineering + physics या क्षेत्रात संशोधन आणि विकास करण्यासाठी calculas माहित असणे अत्यंत आवश्यक आहे. त्यामुळे या क्षेत्रात भविष्यात येणाऱ्या सामान्य विध्यार्थ्यांना याचा अभ्यास असणे गरजेचे आहे. मुळात गणित हीच विज्ञानाची भाषा आहे, ज्याचं गणित कच्च त्याच विज्ञान (advance science) कच्च . मला वैयक्तिक रित्या याची प्रचिती उशिरा आली त्यामुळं मी गणितात त्यामानाने कच्चाच राहीलो , त्यामुळे आजही शिकणे चालू आहे.

जे तंत्रज्ञ् /अभियंते यंत्रांची manufacturing/design/analysis करतात त्यांना गणित पर्यायाने calculas जुजबी माहित असणे आवश्यक आहे. जुजबी माहिती यासाठी कि आजकाल खूप गोष्टी सॉफ्टवेअर करतात (उदारणार्थ: FEM ) परंतु मिळालेल्या result ची शहानिशा करायची असेल तर basic calculas ची गरज लागते. त्यामुळे जे सामान्य विध्यार्थी या क्षेत्रात येणार आहेत त्यांना calculas गरजेचे आहे.

वरील दोन catagory सोडल्या तर इतर क्षेत्रात जाणाऱ्या सामान्य विद्यार्थ्यांसाठी याची म्हणावी अशी गरज नाही, परंतु वेग हे विस्थापन चे differentiation आहे अश्या सध्या गोष्टी समजण्यापुरते तरी calculas चे सामान्य ज्ञान सामान्य विध्यार्थास असावे असे मला वाटते .

चौकटराजा's picture

16 Jul 2017 - 12:29 pm | चौकटराजा

खरे तर माझी पिढी अत्यंत चुकीच्या पद्धतीने गणित शिकत आली. माझ्या पिढीला कवठेकर मास्तरांसारखे मास्तर असते तर गणित हा विषय भार न रहाता. म्हटले तर गणिता इतका रंजक कोणताही विषय नाही बस्स त्याची सांगड आपल्या भोवतीच्या जगाशी आपल्याला घालता आली पाहिजे. मला " कपल" या गोष्टीची अप्लाईड मेकॅनिक्स मधली संकल्पना आमचे बी ई सिव्हील असलेले सर काही शिकवू शकले नाहीत पण माझा थोरला भाउ असाच एक कवठेकर मास्तर , पी एच डी इन ऑरगीनिक रसायन. त्याने मोरीवर नेले व नळ फिरवून दाखविला म्हणाला " धिस इज कपल " . असे शिक्षण आपण कधी मिळविणार ? की अजूनही १३ व्या शतकात भारतावर कोणी स्वारी केली याचे गुर्‍हाळ शिकणार ?

अमितदादा's picture

16 Jul 2017 - 3:17 pm | अमितदादा

प्रतिसादाशी सहमत. आताही तीच परिस्थिती आहे, सुदैवाने उत्तरोउत्तर मला चांगले प्रोफेसर भेटले त्यातील काही मॅथेमॅटिशिअन होते (माझे co -supervisor genious होते, एवढा हुशार माणूस आयुष्यात भेटेल का याबाबत मला शंका आहे). ज्याने माझे परिवर्तन एका पुस्तकी किड्यातून विज्ञान समजण्याचा प्रयत्न करणाऱ्या विद्यार्थ्यात झाले.

मला वाटत इतिहास हा विषय सुद्धा मुलांना सर्वांगीण विकासासाठी गरजेचा आहे, तसेच तो एक ताण कमी करणारा विषय आहे. मला तरी वैयक्तिक रित्या असे वाटते.

चौकटराजा's picture

16 Jul 2017 - 3:52 pm | चौकटराजा

मला तरी आजच्या संदर्भात इतिहास खास करून १८५७ च्या अगोदरचा अगदी निरूपयोगी वाटतो. ज्याना त्यात रमायची आवड आहे त्यांना तो वाचू द्या ना स्वतंत्रपणे त्याचा शाळेतील शिक्षणात संदर्भ कशासाठी ? असो तो काही आपल्या धाग्याचा विषय नाही सबब थांबावे म्हण्तो.

अमितदादा's picture

17 Jul 2017 - 4:28 pm | अमितदादा

आता मला समजलं काय गडबड झालीय ते. तुम्ही आकृती मध्ये differentiation हा शब्द वापरलाय, तोच जर differentials असा वापरला असता तर गल्लत झाली नसती (किमान माझी तरी). मी differentiation म्हणजे derivative समजतो. differentials चा अर्थ मात्र वेगळा होतो, differentials म्हणजे सूक्ष्म बदल delta_s किंवा ds .

Differentials are small changes in specific quantity, and the derivative or differentiation is a change of one quantity with respect to other quantity.

आकृती मध्ये differentiation च्या ऐवजी differentials असा शब्द वापरा. (आकृती सध्या मला दिसत नाही.)
माझ्या late current बद्दल क्षमस्व. बहुदा तुमचा typo झाला असावा. संज्ञा खूप महत्वाचा आहेत.